Κυριακή, 6 Απριλίου 2014

Οι Αριθμοί

Οι φυσικοί αριθμοί διατάσσονται, σε σχήμα πυραμίδας, με τον παρακάτω τρόπο.
  
Να βρείτε:
α) Η 30η σειρά με ποιον αριθμό ξεκινάει και με ποιον τελειώνει;
β) Από πόσους αριθμούς αποτελείται η
30η σειρά ;
γ) Ποια σειρά έχει 99 αριθμούς;
δ) Το 2011 σε ποια σειρά βρίσκεται;
Δικαιολογήστε τα συμπεράσματά σας! (Κατ.34 Νο.680)

Λύση

Λύση του Vasia. α)Η 30η σειρα τελειωνει με τον αριθμο 900.Το βρισκουμε αν υψωσουμε το 30 στο τετραγωνο,μιας και οπως βλεπουμε επαναλαμβανεται το μοτιβο: 1η σειρα->1*1=1, 2η σ. 2*2=4, 3η σ. 3*3=9, 4η σ. 4*4=16....30*30=900. Επισης ξεκινα με τον αριθμο 842.Μπορουμε να το βρουμε αν σκεφτουμε οτι η 29η σειρα τελειωνει με τον 29*29=841 και προσθετοντας 841+1=842 βρισκουμε τον πρωτο αριθμο της επομενης σειρας, δηλ.της 30ης., β)Η 30η σειρα αποτελειται απο 59 αριθμους,που ευκολα προκυπτει απο την εξης αφαιρεση:(30*30)-(29*29)=59., γ)Η ζητουμενη σειρα θα ειναι μεγαλυτερη απο 30.Ξεκινώντας απο την 30η και βλεποντας οτι καθε φορα αυξανονται κατα 2 οι αριθμοι σε καθε σειρα,ισχυει: 59+2*χ=99 <=> 2*χ=40 <=> χ=20.Αρα η σειρα που ψαχνουμε ειναι η 30+20=50η., δ)Επειδη η 50η σειρα τελειωνει με τον αριθμο 50*50=2500, ο 2011 θα βρισκεται σε μικροτερη σειρα.Συγκεκριμενα στην 45η,αφου αυτη ξεκινα με 44*44+1=1937 και τελειωνει με 45*45=2026. Λύση του SW. α)Ο τελευταίο αριθμός κάθε σειράς είναι ο ν^2. Δήλαδή ο τελευταίος αριθμός της σειράς 30 είναι ο 900 και (αφού η σειρά 30 έχει 59 αριθμούς) ο πρώτος είναι ο αριθμός 842., β)Με τη σειρά που είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί (κάθε σειρά έχει 2 αριθμούς περισσότερους από την προηγούμενη) έχουμε τον γενικό τύπο για το πλήθος των αριθμών σε κάθε σειρά που είναι Π=2ν-1 Π το πλήθος των αριθμών και ν ο αύξων αριθμός της σειράς. Έτσι για τη σειρά 30 θα έχουμε Π=(2*30)-1=59. Η 30η σειρά θα αποτελείται από 59 αριθμούς., γ) Σύμφωνα με το (β), 99 αριθμούς έχει η σειρά 50 αφού Π=2ν-1=>(Π+1)/2=50., δ) Το 2011 βρίσκεται στη σειρά 45 γιατί ρίζα 2011=44,84. Δηλαδή ολοκληρωμένες 44 και μέσα στην 45. Πράγματι, σύμφωνα με το (α) έχουμε 44^2=1936 (τελευταίος αριθμός στη σειρά 44) και 45^2=2025 (τελευταίος αριθμός στη σειρά 45). Λύση του Ανώνυμος. α)Ο τελευταίος αριθμός της γραμμής κ είναι ο κ². Αυτό οφείλεται στη γνωστή ιδιότητα των τετραγώνων: κ²=1+3+5+...+(2κ-1). Άρα η 30η σειρά ξεκινά με τον αριθμό 29²+1 και τελειώνει με τον αριθμό 30², με άλλα λόγια αρχίζει με τον 842 και τελειώνει με τον 900., β)Αποτελείται από (2*30-1)=59 αριθμούς, το οποίο επαληθεύεται και από τη σχέση 900-842+1., γ)Για να έχει η σειρά κ 99 αριθμούς θα πρέπει (2κ-1)=99 και άρα κ=50., δ)Η τετραγωνική ρίζα του 2011 είναι περίπου 44,84, άρα βρίσκεται μεταξύ του 44² και του 45², επομένως θα βρίσκεται στην 45η γραμμή. Λύση του Ε. Αλεξίου. A: Αρχίζει με 842 (=29^2+1) και τελειώνει σε 30^2=900., B: Αποτελείται από 2*30-1=59 αριθμούς., Γ: η 50η (2*50-1=99)., Δ: 2011^(1/2)=44.844..., άρα στην 45η.

6 σχόλια:

sw είπε...

Καλησπέρα σε όλους.

Οι αριθμοί έχουν μια
β) Με τη σειρά που είναι τοποθετημένοι οι αριθμοί (κάθε σειρά έχει 2 αριθμούς περισσότερους από την προηγούμενη) έχουμε τον γενικό τύπο για το πλήθος των αριθμών σε κάθε σειρά που είναι Π=2ν-1 Π το πλήθος των αριθμών και ν ο αύξων αριθμός της σειράς. Έτσι για τη σειρά 30 θα έχουμε Π=(2*30)-1=59. Η 30η σειρά θα αποτελείται από 59 αριθμούς.

α) Ο τελευταίο αριθμός κάθε σειράς είναι ο ν^2. Δήλαδή ο τελευταίος αριθμός της σειράς 30 είναι ο 900 και (αφού η σειρά 30 έχει 59 αριθμούς) ο πρώτος είναι ο αριθμός 842.

γ) Σύμφωνα με το (β), 99 αριθμούς έχει η σειρά 50 αφού Π=2ν-1=>(Π+1)/2=50

δ) Το 2011 βρίσκεται στη σειρά 45 γιατί ρίζα 2011=44,84. Δηλαδή ολοκληρωμένες 44 και μέσα στην 45. Πράγματι, σύμφωνα με το (α) έχουμε 44^2=1936 (τελευταίος αριθμός στη σειρά 44) και 45^2=2025 (τελευταίος αριθμός στη σειρά 45).

Ανώνυμος είπε...

Ο τελευταίος αριθμός της γραμμής κ είναι ο κ². Αυτό οφείλεται στη γνωστή ιδιότητα των τετραγώνων: κ²=1+3+5+...+(2κ-1). Άρα η 30η σειρά ξεκινά με τον αριθμό 29²+1 και τελειώνει με τον αριθμό 30², με άλλα λόγια αρχίζει με τον 842 και τελειώνει με τον 900.
Αποτελείται από (2*30-1)=59 αριθμούς, το οποίο επαληθεύεται και από τη σχέση 900-842+1.
Για να έχει η σειρά κ 99 αριθμούς θα πρέπει (2κ-1)=99 και άρα κ=50.
Η τετραγωνική ρίζα του 2011 είναι περίπου 44,84, άρα βρίσκεται μεταξύ του 44² και του 45², επομένως θα βρίσκεται στην 45η γραμμή.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

A: Αρχίζει με 842 (=29^2+1) και τελειώνει σε 30^2=900
B: Αποτελείται από 2*30-1=59 αριθμούς
Γ: η 50η (2*50-1=99)
Δ: 2011^(1/2)=44.844..., άρα στην 45η

Papaveri είπε...

@sw
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή και λακωνική.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes