Σάββατο, 26 Απριλίου 2014

Ο Κτηνοτρόφος

Ένας κτηνοτρόφος αγόρασε  με 100 χρυσά φιορίνια, (Φλωρεντίας-Ιταλίας) χοίρους, γίδες και πρόβατα, συνολικά 100. Οι χοίροι του κόστισαν 3 ½ χρυσά φιορίνια το κεφάλι, οι γίδες 1 και 1/3 χρυσά φιορίνια το κεφάλι και τα πρόβατα  0,50 χρυσό φιορίνι το κεφάλι. Πόσα ζώα αγόρασε από κάθε είδος. (Κατ.34/Νο.688)
Πηγή:Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/04/blog-post_23.html
Πηγή:   
Από το βιβλίο του Leonhard Euler «Εισαγωγή στην  τέχνη του υπολογισμού, για χρήση  στα γυμνάσια της αυτοκρατορικής Ακαδημίας  Επιστήμων της Αγίας Πετρούπολης» Νο.26 (εκδ. 1734 με 1735)
Λύση:
Έστω «x» οι χοίροι, «y» οι γίδες,  και «z» τα πρόβατα.  Βάσει των δεδομένων της
εκφωνήσεως του προβλήματος; έχουμε:
x+y+z = 100 ζώα (1)
(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (3*7)x+(2*4)y+3z=6*100 -->
21x+8y+3z=600 (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
 x+y+z = 100 --> x=100-y-z (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
21x+8y+3z=600 --> 21*(100-y-z)+8y+3z=600 -->
2.100-21y-21z+8y+3z=600 -->
2.100-13y-18z=600 --> 13y+18z=2.100-600 -->
13y+18z=1.500 -->
18z=1.500-13y --> z=(1.500-13y)/18 (5)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των
ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "y" τις τιμές από το 1 έως το N, βλέπουμε ότι οι
μοναδικές τιμές  που ικανοποιειούν  τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό "z" είναι οι
αριθμοί   y=6 , y=24, και y=42  (6)
Αντικαθιστούμε τις τιμές του «y» στη (5) κι’ έχουμε
z=(1.500-13y)/18 --> z=(1.500-13*6)/18 --> z=(1.500-78)/18 -->
z= 1.422/18 --> z=79 (7)
z=(1.500-13y)/18 --> z=(1.500-13*24)/18 --> z=(1.500-312)/18 -->
z= 1.188/18 --> z=66 (7)
z=(1.500-13y)/18 --> z=(1.500-13*42)/18 --> z=(1.500-546)/18 -->
z= 954/18 --> z=53 (7)
Αντικαθιστούμε τις τρεις τιμές του (6) και τις τρεις τιμές του (7) στη (4)
κι’ έχουμε:
x=100-y-z --> x=100-6-79 --> x=100-85 --> x=15 (8)
x=100-y-z --> x=100-24-66 --> x=100-90 --> x=10 (8)
x=100-y-z --> x=100-42-53 --> x=100-95 --> x=5 (8)
Αν «y>42»,  τότε η τιμή του «x» είναι αρνητική, οπότε απορρίπτεται.
Από τ’ ανωτέρω βλέπουμε ότι προκύπτουν τρεις λύσεις, οι οποιες είναι αποδεκτές.
Επαλήθευση:
x+y+z = 100 -->    5+42+53=100
x+y+z = 100  --> 10+24+66 =100
x+y+z = 100  -->  15+6+79=100
(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (7*5)/2+(4*42)/3+(1*53)/2=100 -->
35/2+168/3+53/2=100 --> 17,5+56+26,5=100  ο.ε.δ
(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (7*10)/2+(4*24)/3+(1*66)/2=100 -->
70/2+96/3+66/2=100 --> 35+32+33=100  ο.ε.δ
(7/2)x+(4/3)y+(1/2)z = 100 --> (7*15)/2+(4*6)/3+(1*79)/2=100 -->
105/2+24/3+79/2=100 --> 52,5+8+39,5=100  ο.ε.δ.
 
 

8 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Έστω Χ οι χοίροι, Γ οι γίδες και Π τα πρόβατα
Χ+Γ+Π=100 =>Π=100-Χ-Γ (1)

3.5Χ+(4/3)Γ+0.5Π=100 (2)
=>10.5Χ+4Γ+1.5Π=300
Αντικαθιστώ το Π με το ίσον του από την (1)
10.5Χ+4Γ+1.5*( 100-Χ-Γ)=300=>
10.5Χ+4Γ+150-1.5Χ-1.5Γ=300=>
9Χ+2.5Γ=150
18Χ+5Γ=300 (Διοφαντική εξίσωση)
(18,5)=1 άρα έχει λύση.
Μία λύση έχουμε για Χα=15 και Γα=6 (Π=100-15-6=79) άρα
Χ=Χα+5κ=15+5κ
Γ=Γα-18κ=6-18κ, κ=0,-1,-2
κ=0 => Χ=15,Γ=6, Π=79
κ=-1 =>Χ=10, Γ=24, Π=66
κ=-2 =>Χ=5, Γ=42, Π=53

Για Χ=15,Γ=6, Π=79,
3.5*15+(4/3)*6+0.5*79=100 Δεκτή

για Χ=10, Γ=24, Π=66
3.5*10+(4/3)*24+0.5*66=100 Δεκτή

για Χ=5, Γ=42, Π=53
3.5*5+(4/3)*42+0.5*53=100 Δεκτή

Ανώνυμος είπε...

Χ:χοίροι, Γ:γίδες, Π:πρόβατα
(Χ,Γ,Π)=(5,42,53) ή (10,24,66) ή (15,6,79)
Η μέση αξία των ζώων είναι 1 ευρώ το κεφάλι, άρα για κάθε Χ πρέπει να υπάρχουν 5 Π (6 ζώα) και για κάθε 3 Γ πρέπει να υπάρχουν 2 Π (5 ζώα).
Τα 100 ζώα πρέπει να διαιρεθούν σε εξάδες και πεντάδες και τα μόνα πολλαπλάσια του 6 που αφήνουν υπόλοιπο ζώων για να συμπληρωθεί η εκατοντάδα που διαιρείται με το 5 είναι οι 5,10 και 15 εξάδες, με άλλα λόγια 5, 10 ή 15 χοίροι.

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

5 γουρούνια, 42 γίδες και 53 πρόβατα.
5*(7/2)+42*(4/3)+53*(1/2)=100
"Liber abaci monstrat"

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή. Το πρόβλημα έχει άλλες δύο λύσεις (Βλέπε Λύση).
Το πρόβλημα αυτό συμπεριλαμβάνεται στο βιβλίο που έγραψε ο Eüler (Βλέπε Πηγή στην ανάρτηση), ο οποιος δεν αποκλείται να το πήρε από το βιβλίο του Fibonacci "Liber Abaci", διότι και ο Fibonacci ασχολήθηκε με τα προβλήματα αυτά που είναι της κατηγορίας των 100 πτηνών.

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Αντικειμενικά, η μόνη σωστή λύση είναι η (10, 24 ,66) γιατί μόνο αυτή δίνει ακέραια φιορίνια (35, 32, 33) στις επιμέρους αγορές αντίστοιχα.Ως γνωστόν, τα φιορίνια δεν είχαν υποδιαιρέσεις και δεν υπήρχαν ρέστα.
Aρα, σωστές είναι οι λύσεις του Ευθύμη και του Ανωνύμου, και η δική μου είναι λάθος.

ΥΓ.Μη γράφεις Eüler, είναι λάθος. To σωστό είναι Εuler (Όιλερ).

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Δεν είπα ότι η δική σου είναι λάθος, αλλά ότι υπάρχουν άλλες δύο λύσεις, ασχέετως εάν δεν υπήρχαν υποδιαιρέσεις. Όσο για το όνομα το Όϊλερ το ήξερα μέχρι τώρα ότι γράφεται έτσι, ακόμα και στο διδίκτυο το βρήκα. Εφόσον το λές έτσι θα είναι, γι' αυτό το διορθώνω τώρα.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes