Δευτέρα, 21 Απριλίου 2014

Το Αγρόκτημα

Σ’ ένα αγρόκτημα ένας  αγρότης εκτρέφει άλογα, πρόβατα και κότες. Κάθε είδος ζώου είναι ένας διαφορετικός πρώτος αριθμός. Ο αγρότης σκέφτηκε ως εξής:
-«Εάν πολλαπλασιάσω το πλήθος των προβάτων μου με το άθροισμα των 
αριθμών των προβάτων και των αλόγων μου, τότε θα βρω έναν αριθμό 
μεγαλύτερο κατά 120 από τις κότες μου.»
Πόσα ήταν τα ζώα που είχε ο αγρότης και από πόσα το καθ' ένα;
(Κατ.34/Νο.686)
Πηγή:Από το βιβλίο "Ο Οιδίποδας και η Σφίγγα", του Α. Πούλου

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Α τα άλογα Π τα προβατα και Κ οι κότες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: Π*(Π+Α)=Κ+120 (1), Εάν Α, Π, Κ πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα: α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 =>Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2 και Α=59 άρα Α=59, Π=2, Κ=2 β) Κ+120= περιττός αριθμός =>Π*(Π+Α)= περιττός αριθμός => Π=περιττός και Α=2 και η εξίσωση γίνεται: Π*(Π+2)=Κ+120 => Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) => (Π-10) = 1 =>Π =11 και Κ=11+12=23 Άρα Α=2, Π=11, Κ=23

2 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Το έχω ξαναδεί, μάλλον στο ΕΙΣΑΤΟΠΟΝ. Τό έλυσα?, το είδα λυμένο? Δεν θυμάμαι.
Έστω Α τα άλογα Π τα προβατα και Κ οι κότες.
Π*(Π+Α)=Κ+120 , αν Α, Π, Κ πρώτοι αριθμοί εκτός του 2, τότε
Π*(Π+Α)= άρτιος αριθμός και Κ+120 περιττός αριθμός, άτοπον, άρα
α) Κ+120 άρτιος, άρα Κ=2 =>Π*(Π+Α)=122=2*61 (1*122 δεν γίνεται δεκτό αφού το 1 δεν
θεωρείται πρώτος αριθμός), άρα Π=2 και Α=59
άρα Α=59, Π=2, Κ=2
β) Κ+120= περιττός αριθμός =>Π*(Π+Α)= περιττός αριθμός => Π=περιττός και Α=2
και η εξίσωση γίνεται: Π*(Π+2)=Κ+120 =>
Π^2+2Π-120=Κ ή (Π+12)*(Π-10)=Κ(=πρώτος αριθμός) =>
(Π-10) = 1 =>Π =11 και και Κ=11+12=23
άρα Α=2, Π=11, Κ=23

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Ναι, σωστά γράψατε την ιστοσελίδα που το λύσατε, με τη διαφορά ότι δώσατε λακωνική λύση, ενώ αυτή τη φορά περείχε και ανάλυση. Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes