Οι Αριθμοί

Να βρεθούν οι διψήφιοι αριθμοί, οι οποίοι αντιστρέφονται όταν ισχύει:

α)(xy+1)/2=yx. 

β) (xy−2)/2=yx

γ) (xy−10)/2=yx.
(Κατ.34/Νο.634)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/blog-post_3453.html

Λύση

Έστω ο διψήφιος αριθμός «xy», ο οποίος είναι της μορφής (10x+y) και ο αντίστροφος του που είναι της μορφής (10y+x). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α)(10x+y+1)/2=10y+x --> 10x+y+1=2*(10y+x) --> 10x+y+1=20y+2x --> 10x-2x=20y-y-1 --> 8x=19y-1 --> x = (19y-1)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=3. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y-1)/8 --> x = [(19*3)-1]/8 --> x = (57-1)/8 --> x = 56/8 --> x = 7 Επαλήθευση: (10x+y+1)/2=10y+x --> [(10*7)+3+1]/2=[(10*3)+7] --> 70+3+1/2=30+7 --> 74/2=37 (73 και 37) β)(10x+y-2)/2=10y+x --> 10x+y-2=2*(10y+x) --> 10x+y-2=20y+2x --> 10x-2x=20y-y+2 --> 8x=19y+2 --> x = (19y+2)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=2. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y+2)/8 --> x = [(19*2)+2]/8 --> x = (38+2)/8 --> x = 40/8 --> x = 5 Επαλήθευση: (10x+y-2)/2=10y+x --> [(10*5)+2-2]/2=[(10*2)+5] --> 50/2=20+5 --> 50/2=25 (52 και 25) γ)(10x+y-10)/2=10y+x --> 10x+y-10=2*(10y+x) --> 10x+y-10=20y+2x --> 10x-2x=20y-y+10 --> 8x=19y+10 --> x = (19y+10)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=2. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y+10)/8 --> x = [(19*2)+10]/8 --> x = (38+10)/8 --> x = 48/8 --> x = 6 Επαλήθευση: (10x+y-10)/2=10y+x --> [(10*6)+2-10]/2=[(10*2)+6] --> (60-8)/2=20+6 --> 52/2=26 (62 και 26)