Τετάρτη, 28 Αυγούστου 2013

Οι Αριθμοί

Να βρεθούν οι διψήφιοι αριθμοί, οι οποίοι αντιστρέφονται όταν ισχύει:
α)(xy+1)/2=yx
β) (xy2)/2=yx
γ) (xy10)/2=yx.
(Κατ.34/Νο.634)
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/09/blog-post_3453.html

Λύση

Έστω ο διψήφιος αριθμός «xy», ο οποίος είναι της μορφής (10x+y) και ο αντίστροφος του που είναι της μορφής (10y+x). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α)(10x+y+1)/2=10y+x --> 10x+y+1=2*(10y+x) --> 10x+y+1=20y+2x --> 10x-2x=20y-y-1 --> 8x=19y-1 --> x = (19y-1)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=3. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y-1)/8 --> x = [(19*3)-1]/8 --> x = (57-1)/8 --> x = 56/8 --> x = 7 Επαλήθευση: (10x+y+1)/2=10y+x --> [(10*7)+3+1]/2=[(10*3)+7] --> 70+3+1/2=30+7 --> 74/2=37 (73 και 37) β)(10x+y-2)/2=10y+x --> 10x+y-2=2*(10y+x) --> 10x+y-2=20y+2x --> 10x-2x=20y-y+2 --> 8x=19y+2 --> x = (19y+2)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=2. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y+2)/8 --> x = [(19*2)+2]/8 --> x = (38+2)/8 --> x = 40/8 --> x = 5 Επαλήθευση: (10x+y-2)/2=10y+x --> [(10*5)+2-2]/2=[(10*2)+5] --> 50/2=20+5 --> 50/2=25 (52 και 25) γ)(10x+y-10)/2=10y+x --> 10x+y-10=2*(10y+x) --> 10x+y-10=20y+2x --> 10x-2x=20y-y+10 --> 8x=19y+10 --> x = (19y+10)/8 (1) Διερεύνηση: Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «9», βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό «x» είναι ο αριθμός y=2. Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στην (1) κι’ έχουμε: x = (19y+10)/8 --> x = [(19*2)+10]/8 --> x = (38+10)/8 --> x = 48/8 --> x = 6 Επαλήθευση: (10x+y-10)/2=10y+x --> [(10*6)+2-10]/2=[(10*2)+6] --> (60-8)/2=20+6 --> 52/2=26 (62 και 26)

4 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

α) (10x+y+1)/2=10y+x =>
y=8x/19 +1/19, θέτω χ=19n+7, άρα y=8n+3, άρα n=0
=>x=7 kai y=3 και ο αριθμός είναι ο 73 και ο (73+1)/2=37

β)(10x+y-2)/2=10y+x =>
y=8x/19 -2/19, θέτω χ=19n+5, άρα y=8n+2, άρα n=0 =>
χ=5 και y=2 kai o αριθμός είναι ο 52 και ο (52-2)/2=25

γ)(10x+y-10)/2=10y+x =>
y=8x/19 -10/19, θέτω χ=19n+6, άρα y=8n+2), άρα n=0 =>
χ=6 και y=2 και ο αριθμός είναι ο 62 και ο (62-10)/2=26

Αρκετά καλό!

Papaveri είπε...

@Ε.Αλεξίου
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

batman1986 είπε...

α)73, 37

β)52, 25

γ)62, 26

Όλα αυτά υπολογίζονται πολύ εύκολα αν γράψουμε τους αριθμούς yx=10x+y

P.x. για α) καταλήγουμε μετά απο πράξεις στη μορφή 19y-8x=1 και κάνουμε δοκιμές για y και χ

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes