Το Αποτέλεσμα

Εάν:

a²+b²=208

b²+c²=164

c²+a²=244

Τότε:

a²+b²−c²=?

(Κατ.34/Νο.582)

Πηγή:? 

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. a^2+b^2 =208 (1), b^2+c^2=164 (2), c^2+a^2=244 (3), Προσθέτω κατά μέλη (1)+(2) a^2+2b^2+c^2 = 372 Αφαιρώ την (3) => 2b^2 = 372-244 = 128 => b^2 = 64 Προσθέτω κατά μέλη (1)+(3) 2a^2+b^2 +c^2 = 208+244 = 452 Αφαιρώ την (2) => 2α^2=452-164 = 288 => α^2 = 144 Προσθέτω κατά μέλη (2)+(3) a^2+b^2 +2c^2 = 164+244 = 408 Αφαιρώ την (1) => 2c^2 = 408-208 = 200 => c^2 =100 Άρα a^2+b^2- c^2 = 208-100 = 108 Λύση του Papaveri. Η εξίσωση a^2+b^2−c^2=? ισούται με 108. α^2+β^2 =208 (1), β^2+γ^2=164 (2), γ^2+α^2=244 (3), Προσθέτω κατά μέλη 2α^2+2β^2+2γ^2 = 616 Εξάγουμε κοινό παράγοντα το 2 κι’ έχουμε: 2(α^2+β^2+γ^2)=616 --> α^2+β^2+γ^2=616/2 -->α^2+β^2+γ^2=308 (4) Λύνουμε τη (4) ως προς α^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> α^2=308-(β^2+γ^2) (5) Αντικαθιστούμε τη (2) στη (5) κι’ έχουμε: α^2=308-(β^2+γ^2) --> α^2=308-164 --> α^2=144 (6) Λύνουμε τη (4) ως προς β^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> β^2=308-(α^2+γ^2) (7) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (7) κι’ έχουμε: β^2=308-244 --> β^2=64 (8) Λύνουμε τη (4) ως προς γ^2 κι’ έχουμε: α^2+β^2+γ^2=308 --> γ^2=308-(α^2+β^2) (9) Αντικαθιστούμε τη (1) στην (9) κι’ έχουμε: γ^2=308-(α^2+β^2) --> γ^2=308-208 --> γ^2=100 (10) Οπότε η a^2+b^2−c^2 ισούται με: a^2+b^2−c^2=144+64-100=208-100=108 (11) Επαλήθευση: α^2+β^2=208 --> 144+64=208, β^2+γ^2=164 --> 64+100=164, γ^2+α^2=244 --> 100+144=244, Ή α^2+β^2 =208 (1), β^2+γ^2=164 (2), γ^2+α^2=244 (3), Από την (1) συνάγουμε ότι: α^2+β^2 =208 -->α^2=208-β^2 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: γ^2+α^2=244 --> γ^2+208-β^2=244 -->γ^2=244-208+β^2 -->γ^2=36+β^2 (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στη (2) κι’ έχουμε: β^2+γ^2=164 -->β^2+36+β^2=164 -->2β^2=164-36 --> 2β^2=128 --> β^2=128/2 -->β^2=64 (6) Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε: γ^2=36+β^2 --> γ^2=36+64 -->γ^2=100 (7) Αντικαθιστούμε την (6) στη1 (1) κι’ έχουμε: α^2+β^2 =208 --> α^2+64=208 --> α^2=208-64 -->α^2=144 (8) Οπότε η a^2+b^2−c^2 ισούται με: a^2+b^2−c^2=144+64-100=208-100=108 (9) Επαλήθευση: α^2+β^2=208 --> 144+64=208, β^2+γ^2=164 --> 64+100=164, γ^2+α^2=244 --> 100+144=244,