Σάββατο, 30 Μαρτίου 2013

Οι Κηπουροί

Τρεις κηπουροί, ο Αποστόλης, ο Βαγγέλης και ο Γιάννης, κουρεύουν κάθε μήνα το γκαζόν ενός μεγάλου κήπου. Αν το κούρευε μόνος του ο Αποστόλης θα έκανε 1 ώρα παραπάνω απ’ ότι κάνουν και οι τρεις μαζί. Αν το κούρευε μόνος του ο Βαγγέλης θα έκανε 5 ώρες παραπάνω και αν το κούρευε μόνος του ο Γιάννης θα έκανε 8 ώρες παραπάνω.
Σε πόση ώρα κουρεύουν το γκαζόν ο Αποστόλης και ο Βαγγέλης μαζί;(Κατ.34/Νο.589)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω "α" η ώρα που χρειάζεται ο Αποστόλης, "β" η ώρα που χρειάζεται ο Βαγγέλης και "γ" η ώρα που χρειάζεται ο Γιάννης για να κουρέψουν το γκαζόν ,ο καθένας μόνος του αντίστοιχα. Η ώρα που απαιτείται (για συνδυασμένη απόδοση/έργο) για δύο μαζί ,έστω τους Α και Β, είναι ως γνωστόν αβ/(α+β) . Αν έχουμε κι έναν τρίτο, έστω Γ, θα έχουμε {(αβ/(α+β)*γ)/(αβ/(α+β))+γ)} , το οποίο με λίγες απλοποιητικές πράξεις δίνει: Χρόνος των τριών μαζί: αβγ/(αβ+βγ+αγ) (1) Άρα, από τα δεδομένα, έχουμε το σύστημα: α-1 = αβγ/(αβ+βγ+αγ) β-5 = αβγ/(αβ+βγ+αγ) γ-8= αβγ/(αβ+βγ+αγ) Το σύστημα αυτό έχει τις θετικές λύσεις: α=(1/2)*(ρίζα65 -3) β=(1/2)*(5 + ρίζα65) γ= (1/2)* (11+ρίζα65) Ή προσεγγιστικά: α= 2,53113 β=6,53113 γ=9,53113 (ώρες) Άρα η συνδυασμένη απόδοση Α και Β που ζητείται είναι : αβ/(α+β)= 1,82417 ώρες (ή 1 ώρα 49 πρώτα λεπτά και 27 δευτερόλεπτα..) Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «x» οι ώρες που κάνουν και οι τρεις μαζί για να κουρέψουν το γκαζόν. Τότε ο Αποστόλης θα κάνει x+1 ώρες, ο Βαγγέλης x+5 και ο Γιάννης x+8 ώρες. Για μια ώρα ισχύει [1 / (x+1) +1 / (x+5) + 1 / (x+8)] = 1 / x => [(x+5)*(x+8) + (x+1)*(x+8) + (x+1)*(x+5)] / [(x+1)*(x+5)*(x+8)] =1/x => [(x^2+13x+40) + (x^2+9x+8) + (x^2+6x+5)] *x = (x^2+6x+5)(x+8) => x^3+13x^2+40x + x^3+9x^2+8x + x^3+6x^2+5x = x^3+6x^2+5x+8x^2+48x+40 => 3x^3 +(13+9+6=28 )x^2 + (40+8+5=53)*x= x^3 + (6+8=14)x^2 +(5+48=53)x+40 => 2x^3 + 14x^2 – 40 = 0 => x^3 +7x^2 -20 = 0 => x=1.53113 => Αποστόλης: 2.53113 ώρες Βαγγέλης: 6.53113 ώρες Γιάννης: 9.53113 ώρες Αποστόλης και Βαγγέλης κουρεύουν μαζί το γκαζόν σε: x*[1/(α+1)+1/(α+5)]=1 -->x*[1/(1,53113+1)+1/(1,53113+5)=1 --> x*[(1/2,53113)+ (1/ 6,53113)]= 1 --> x*(6,53113+2,53113)=(6,53113*2,53113)*1 --> 9,06226x=16,5311390769 --> x=16,5311390769/9,06226 --> x=1,82417=1 ώρα 49 λεπτά 27 δευτερόλεπτα και 0,84εκατοστά. του δευτερολέπτου

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Έστω α η ώρα που χρειάζεται ο Αποστόλης, β η ώρα που χρειάζεται ο Βαγγέλης και γ η ώρα που χρειάζεται ο Γιάννης για να κουρέψουν το γκαζόν ,ο καθένας μόνος του αντίστοιχα.
Η ώρα που απαιτείται (για συνδυασμένη απόδοση/έργο) για δύο μαζί ,έστω τους Α και Β, είναι ως γνωστόν αβ/(α+β) . Αν έχουμε κι έναν τρίτο, έστω Γ, θα έχουμε
{(αβ/(α+β)*γ)/(αβ/(α+β))+γ)} , το οποίο με λίγες απλοποιητικές πράξεις δίνει:
Χρόνος των τριών μαζί =
=αβγ/(αβ+βγ+αγ) (1)
Άρα, από τα δεδομένα, έχουμε το σύστημα:
α-1 = αβγ/(αβ+βγ+αγ)
β-5 = αβγ/(αβ+βγ+αγ)
γ-8= αβγ/(αβ+βγ+αγ)

Το σύστημα αυτό έχει τις θετικές λύσεις:
α=(1/2)*(ρίζα65 -3)
β=(1/2)*(5 + ρίζα65)
γ= (1/2)* (11+ρίζα65)
Ή προσεγγιστικά:
α= 2,53113
β=6,53113
γ=9,53113 (ώρες)
Άρα η συνδυασμένη απόδοση Α και Β που ζητείται είναι :
αβ/(α+β)= 1,82417 ώρες (ή 1 ώρα 49 πρώτα λεπτά και 27 δευτερόλεπτα..)

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Προς αποφυγήν κάθε παρεξήγησης να πω ότι την είχα λυμένη εδώ και μήνες λόγω της συμμετοχής μου σε άλλο μπλόγκ και δεν ήθελα να την στείλω πρώτος μια έτοιμη και φυλαγμένη άσκηση.

Εστω χ οι ωρες που κάνουν και οι τρεις να κουρέψουν το γκαζόν.
Τοτε ο Αποστόλης θα κάνει χ+1 ώρες, ο Βαγκέλης χ+5 και ο Γιάννης χ+8 ώρες.

Για μια ωρα ισχύει
1 / (χ+1) +1 / (χ+5) + 1 / (χ+8) = 1 / χ =>

[(χ+5)*(χ+8) + (χ+1)*(χ+8) + (χ+1)*(χ+5)] / [(χ+1)*(χ+5)*(χ+8)] =1/χ =>
[(χ^2+13χ+40) + (χ^2+9χ+8) + (χ^2+6χ+5)] *χ = (χ^2+6χ+5)(χ+8) =>
χ^3+13χ^2+40χ + χ^3+9χ^2+8χ + χ^3+6χ^2+5χ = χ^3+6χ^2+5χ+8χ^2+48χ+40 =>
3Χ^3 +(13+9+6=28 )χ^2 + (40+8+5=53)*χ = χ^3 + (6+8=14)χ^2 +(5+48=53)χ+40 =>
2χ^3 + 14χ^2 – 40 = 0 =>
χ^3 +7χ^2 -20 = 0 =>
χ=1.53113 =>
Αποστόλης 2.53113 ωρες
Βαγκέλης 6.53113 “
Γιάννης 9.53113 “

Αποστόλης και Βαγκέλης κουρεύουν μαζι το γκαζόν
(1/ 2.53113 + 1/ 6.53113 = 0.54819 = 1.82419) = σε μία ωρα 49 λεπτά (και κάτι δευτερόλεπτα)

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Διευκρίνηση
του “Αποστόλης και Βαγκέλης κουρεύουν μαζι το γκαζόν
(1/ 2.53113 + 1/ 6.53113 = 0.54819 = 1.82419) “
Κοιτάζοντας μετά την αποστολή βλέπω ότι είχα κάνει.. αλματάκι στις πράξεις, χωρίς επεξήγηση
Εννοώ προφανώς ότι Αποστόλης και Βαγγέλης κουρεύουν μαζί σε μία ώρα το 1/2.53113 +1/6.53113 =0.54819 του κήπου και συνεπώς όλο τον κήπο σε 1/0,54819=1,82419 ώρες = 1 ώρα 49 λεπτά και κάτι δεύτερα

Papaveri είπε...

Πολύ σωστή η λύση και των δύο. Μπράβο σας!!

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes