Κυριακή, 31 Μαρτίου 2013

Οι Ομάδες

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία;(Κατ.5/Νο.71)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Βάσει του τύπου των συνδυασμών έχουμε: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν), Σ = Σύνολο Συνδυασμών, Δ = Διατάξεις, Μ = Μεταθέσεις, μ = ο αριθμός των παικτών, ν = ο αριθμός των ομάδων, α) Για τη πρώτη ομάδα συνδυασμοί των 20 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(20 5)= Δ(20 5)/Μ(5) --> Σ(20 5)=(20*19*18*17*16)/1*2*3*4*5 --> Σ(20 5)=1.860.480/120 --> Σ(20 5)=15.504, β) Για τη δεύτερη ομάδα συνδυασμοί των 15 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(15 5)= Δ(15 5)/Μ(5) --> Σ(15 5)=(15*14*13*12*11)/1*2*3*4*5 --> Σ(15 5)=360.360/120 --> Σ(15 5)=3.003, γ) Για τη τρίτη ομάδα συνδυασμοί των 10 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(10 5)= Δ(10 5)/Μ(5) --> Σ(10 5)=(10*9*8*7*6)/1*2*3*4*5 --> Σ(10 5)=30.240/120 --> Σ(10 5)=252, δ) Για τη τέταρτη ομάδα συνδυασμοί των 5 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(5 5)= Δ(5 5)/Μ(5) --> Σ(5 5)=5*4*3*2*1/5*4*3*2*1 -->Σ(5 5)=120/120 -->Σ(5 5)=1/1 --> Σ(5 5)=1, Γενικό Σύνολο: Σ(20,5)*Σ(15,5)*Σ(10,5)*Σ(5,5)=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024 διαφορετικοί τρόποι για να χωρισθούν 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία. Το σωστό είναι να διαιρέσουμε το γινόμενο των όλων των δυνατών συνδυασμών όπως σωστά υπολογίσθηκε έως εκεί με το 4! (4 παραγοντικό), γιατί ο αριθμός των ομάδων είναι τέσσερις. Λίγα λόγια γιατί διαιρούμε με το (αριθμός των ομάδων)! Για τον απλούστατο λόγο ότι στο: C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5)=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024,σωστά έως εδώ, η κάθε ομάδα στον συνδυασμό της με άλλες 3, δηλαδή ο κάθε συνδυασμός τεσσάρων ομάδων υπάρχει 4 φορές, άρα για τη 1η ομάδα με τις άλλες 3 διαιρούμε με το 4, για την 2η ομάδα με τις άλλες 2 διαιρούμε με το 3 (με την 1η ήδη υπολογίσθη-κε) , για την 3η ομάδα με την 4η ομάδα διαιρούμε με το 2, και για την 4η ομάδα διαιρούμε φυσικά με το 1, δηλαδή διαιρούμε συνολικά με το 4*3*2*1=4!=24 και τελικά το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να χωρίσουμε 20 παίχτες σε 4 ομάδες των 5 παιχτών είναι: 11.732.745.024/24 = 488.864.376, ουκ ολίγες και έτσι. Μόνο εάν το ζητούμενο ήταν και ο τρόπος που θα παραταχθούν οι ομάδες δεν διαιρούμε με το παραγοντικό του αριθμού των ομάδων. Οι μεταθέσεις 4 αριθμών δεν είναι 4! = 24? Γι’ αυτό ακριβώς τον λόγο διαιρούμε με το 24, διότι στο γινόμενο: C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5) έχουν υπολογισθεί και οι μεταθέσεις των ομάδων σαν ξεχωριστοί διαχωρισμοί.

8 σχόλια:

Nikos Lentzos είπε...

Η πρώτη ομάδα μπορεί να σχηματισθεί με 15504 διαφορετικούς τρόπους, δηλ όσοι οι συνδιασμοί των 20 ανά 5.
Η δεύτερη ομάδα μπορεί να σχηματισθεί με 3003 διαφορετικούς τρόπους, δηλ όσοι οι συνδιασμοί των 15 ανά 5.
Η τρίτη ομάδα μπορεί να σχηματισθεί με 252 διαφορετικούς τρόπους, δηλ όσοι οι συνδιασμοί των 10 ανά 5.
Και η τέταρτη ομάδα μπορεί να σχηματισθεί με 1 τρόπο, δηλ όσοι οι συνδιασμοί των 5 ανά 5.
Έτσι μπορούμε να χωρίσουμε 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών με:
15.504*3.003*252*1=11.732.745.024
διαφορετικούς τρόπους.

Papaveri είπε...

@Nikos Lentzos
Νίκο πολύ σωστά! Με 20 παίκτες δημιουργήθηκαν 11.732.745.024
διαφορετικούς τρόπους!! Φανταστικό για το τι μπορεί να δημιουργήσει η συνδυαστική!!

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Κύριε Κάρλο επιτρέψτε μου να διαφωνήσω

Δεν είναι σωστό το αποτέλεσμα, ή για να ακριβολογήσω θα ήταν σωστό
αν τις ομάδες τις βάζαμε σε σειρά, ας πούμε σε ευθεία γραμμή και έπαιζε ρόλο η σειρά, πράγμα όμως που δεν συμβαίνει εδώ, έτσι χρειάζεται άλλη μια πράξη για να έχουμε το σωστό αποτέλεσμα
στο ερώτημα με πόσους “διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία;”
Επειδή και αυτό το πρόβλημα το έχω λύσει στο μπλόγκ απο όπου πήρατε το πρόβλημα,
δεν θέλω να στείλω την λύση, τουλάχιστον όχι πρώτος , για ευνόητους λόγους δεοντολογίας και γιατί θα ήταν προιόν “αντιγραφής” έστω και από εμένα τον ίδιο αφού το έχω ήδη λυμένο το πρόβλημα, αλλά και γιατί θα αποκάλυπτα την λύση ενώ το άλλο μπλόγκ το έχει στα άλυτα θέματα

Θα βοηθήσω όμως λίγο με ένα εύκολο παράδειγμα.
Έστω ότι έχουμε 4 μπασκετμπολίστες τους 1,2,3,4 και θέλουμε να
τους χωρίσουμε σε 2 ομάδες των 2 παιχτών τότε ο αριθμός των τρόπων σχηματισμού των ομάδων σύμφωνα με την λύση του κ. Λέντζου είναι C(4,2)*C(2,2)=6*1=6
οι παρακάτω:
1,2 3,4
1,3 2,4
1,4 2,3

2,3 1,4
2,4 1,3
3,4 1,2

Παρατηρούμε με προσεκτική ανάγνωση των συνδυασμών
ότι οι 6 τρόποι είναι τελικά ..3 (ανα 2 είναι ίδιοι με αλλαγή θέσης)
Βλέπετε, οι άνθρωποι δεν είναι αριθμοί, όσο και αν προσπαθούν
τα ”πουλημένα ...παρτάλια!” να μας κάνουν αριθμούς !
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σας ότι είναι φανταστικό το τι μπορούμε να υπολογίσουμε με την Συνδυαστική!

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Έχετε απόλυτο δίκιο. Την ώρα που έγραψα το σχόλιο ήταν ήδη αργά και δεν ασχολήθηκα σε βάθος με την ορθότητα της λύσης. Το σωστό είναι το μίσο απ' ότι βρήκε ο κ. Λέντζος, ο οποίος κατά τη γνώμη μου δεν έπρεπε να του διαφύγει αυτή η λεπτομέρεια. Πάντως άνοιξα το βιβλίο του Π. Τόγκα για να διαβάσω σχετικά περί συνδυαστικής για να είμαι σίγουρος για το απότέλεσμα.
Πάντως μπορείτε να στείλετε τη λύση, διότι ούτως ή άλλως θα την αναρτήσω.
Σας ευχαριστώ για τη παρέμβαση.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Το σωστό είναι να διαιρέσουμε το γινόμενο των όλων των δυνατών συνδυασμών όπως σωστά υπολογίσθηκε έως εκεί με το 4! (4 παραγοντικό),
4! γιατί ο αριθμός των ομάδων είναι
τέσσερις. Στο εύκολο παράδειγμα των 4 παιχτών σε 2 ομάδες των 2 παιχτών, διαιρούμε με το 2 επειδή 2!=1*2=2
Λίγα λόγια γιατί διαιρούμε με το
(αριθμός των ομάδων)!
Για τον απλούστατο λόγο ότι στο
C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5)=
=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024,σωστά έως εδώ,
η κάθε ομάδα στον συνδυασμό της με άλλες 3, δηλαδή ο κάθε συνδυασμός
τεσσάρων ομάδων υπάρχει 4 φορές,
άρα για 1η ομάδα με τις άλλες 3 διαιρούμε με το 4 για την 2η με τις άλλες 2 διαιρούμε με το 3(με την 1η ήδη υπολογίσθηκε , για την 3η με την 4η διαιρούμε με το 2 και για την 4η διαιρούμε φυσικά με το 1,
δηλαδή διαιρούμε συνολικά με το
4*3*2*1=4!=24
και τελικά το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να χωρίσουμε 20 παίχτες σε 4 ομάδες των 5 παιχτών είναι:
11.732.745.024/24 = 488.864.376, ουκ ολίγες και έτσι.
Μόνο αν μας αν ήταν ζητούμενο και ο τρόπος που θα παραταχθούν οι ομάδες δεν διαιρούμε με το παραγοντικό του αριθμού των ομάδων.
ΟΙ μεταθέσεις 4 αριθμών δεν είναι 4! = 24?
Γιαυτό ακριβώς τον λόγο διαιρούμε με το 24, διότι στο γινόμενο C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5) έχουν υπολογισθεί και οι μεταθέσεις των ομάδων σαν ξεχωριστοί διαχωρισμοί.







Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Πολύ σωστά!! Κι' εγώ παρασύρθηκα από το παράδειγμα.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Πάρα πολύ σωστό και ειδικά το σημείο που είναι καθαρά δικό σας εννοώ τα
αρχικά Σ=Δ/Μ που δείχνει ότι τελικά το μελετήσατε καλά το θέμα και εμβαθύνατε σε αυτό, να σας αξιολογήσω
και εγώ μία φορά, όχι μόνο εσείς εμάς
Μπράβο σας!!
Επιτρέψτε μόνο μία μικρή παρατήρηση και συγχωρέστε με που παρεμβαίνω στο έργο σας αλλά το πρώτο και βασικό μέρος της επίλυσης είναι του κ. Λέτνζου και δεν το αναφέρετε.
και πάλι να με συμπαθάτε!

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Το σχόλιο που έκανα για το κ.Λέντζο νομίζω ότι τον καλύπτει, ασχέτως εάν ήταν ημιτελής η λύση του, που φρονώ ότι ήταν εκ παραδρομής. Διότι δεν νομίζω ότι θα έκανε ένα τόσο σοβαρό λάθος ένας μαθηματικός και πολύ καλός λύτης.
Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes