Οι Ομάδες

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία;(Κατ.5/Νο.71)

Πηγή:http://pantsik.awardspace.com/problems/syndyasmvn.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Βάσει του τύπου των συνδυασμών έχουμε: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν), Σ = Σύνολο Συνδυασμών, Δ = Διατάξεις, Μ = Μεταθέσεις, μ = ο αριθμός των παικτών, ν = ο αριθμός των ομάδων, α) Για τη πρώτη ομάδα συνδυασμοί των 20 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(20 5)= Δ(20 5)/Μ(5) --> Σ(20 5)=(20*19*18*17*16)/1*2*3*4*5 --> Σ(20 5)=1.860.480/120 --> Σ(20 5)=15.504, β) Για τη δεύτερη ομάδα συνδυασμοί των 15 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(15 5)= Δ(15 5)/Μ(5) --> Σ(15 5)=(15*14*13*12*11)/1*2*3*4*5 --> Σ(15 5)=360.360/120 --> Σ(15 5)=3.003, γ) Για τη τρίτη ομάδα συνδυασμοί των 10 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(10 5)= Δ(10 5)/Μ(5) --> Σ(10 5)=(10*9*8*7*6)/1*2*3*4*5 --> Σ(10 5)=30.240/120 --> Σ(10 5)=252, δ) Για τη τέταρτη ομάδα συνδυασμοί των 5 ανά 5 σύνολο: Σ(μ ν)= Δ(μ ν)/Μ(ν) --> Σ(5 5)= Δ(5 5)/Μ(5) --> Σ(5 5)=5*4*3*2*1/5*4*3*2*1 -->Σ(5 5)=120/120 -->Σ(5 5)=1/1 --> Σ(5 5)=1, Γενικό Σύνολο: Σ(20,5)*Σ(15,5)*Σ(10,5)*Σ(5,5)=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024 διαφορετικοί τρόποι για να χωρισθούν 20 μπασκετμπολίστες σε 4 ομάδες των 5 παικτών η κάθε μία. Το σωστό είναι να διαιρέσουμε το γινόμενο των όλων των δυνατών συνδυασμών όπως σωστά υπολογίσθηκε έως εκεί με το 4! (4 παραγοντικό), γιατί ο αριθμός των ομάδων είναι τέσσερις. Λίγα λόγια γιατί διαιρούμε με το (αριθμός των ομάδων)! Για τον απλούστατο λόγο ότι στο: C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5)=15.504*3.003*252*1=11.732.745.024,σωστά έως εδώ, η κάθε ομάδα στον συνδυασμό της με άλλες 3, δηλαδή ο κάθε συνδυασμός τεσσάρων ομάδων υπάρχει 4 φορές, άρα για τη 1η ομάδα με τις άλλες 3 διαιρούμε με το 4, για την 2η ομάδα με τις άλλες 2 διαιρούμε με το 3 (με την 1η ήδη υπολογίσθη-κε) , για την 3η ομάδα με την 4η ομάδα διαιρούμε με το 2, και για την 4η ομάδα διαιρούμε φυσικά με το 1, δηλαδή διαιρούμε συνολικά με το 4*3*2*1=4!=24 και τελικά το πλήθος των τρόπων που μπορούμε να χωρίσουμε 20 παίχτες σε 4 ομάδες των 5 παιχτών είναι: 11.732.745.024/24 = 488.864.376, ουκ ολίγες και έτσι. Μόνο εάν το ζητούμενο ήταν και ο τρόπος που θα παραταχθούν οι ομάδες δεν διαιρούμε με το παραγοντικό του αριθμού των ομάδων. Οι μεταθέσεις 4 αριθμών δεν είναι 4! = 24? Γι’ αυτό ακριβώς τον λόγο διαιρούμε με το 24, διότι στο γινόμενο: C(20,5)*C(15,5)*C(10,5)*C(5,5) έχουν υπολογισθεί και οι μεταθέσεις των ομάδων σαν ξεχωριστοί διαχωρισμοί.