Παρασκευή, 1 Μαρτίου 2013

Το Ταξίδι

Βρίσκεστε στην Ιταλία και αναχωρείτε με το αυτοκίνητό σας από την ιστορική πόλη Φλωρεντία με ταχύτητα 120χλμ/ώρα στην κατηφόρα, 80χλμ/ώρα σε ευθεία, και 60χλμ/ώρα στην ανηφόρα, με σκοπό να φτάσετε  στη πόλη Πίζα, για να δείτε τ’ αξιοθέατα,  και να επιστρέψετε την ίδια ημέρα στη Φλωρεντία. Συνολικά κάνετε 6 ώρες για να φτάσετε και 4 ώρες για να επιστρέψετε. Πόσο μακριά είναι οι δύο πόλεις μεταξύ τους; (Κατ.34/Νο.578)
Πηγή:?

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω ότι η ολική απόσταση ανά: κατηφόρα, ευθεία, και ανηφόρα, στο ταξίδι του πηγαιμού προς Πίζα, είναι x, y, και z, αντίστοιχα. Ο χρόνος για να διανυθεί μια απόσταση ,έστω d ,είναι d/v. (v=η ταχύτητα) Έτσι ,για το ταξίδι του πηγαιμού ισχύει: x/120 + y/80 + z/60 = 6 (α) Στο ταξίδι επιστροφής, τα ισιώματα παραμένουν ισιώματα, αλλά οι αρχικές ανηφόρες γίνονται κατηφόρες και αντίστροφα ,άρα έχουμε: x/60 + y/80 + z/120 = 4 (β) Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους, αλλά μας ενδιαφέρει το x+y+z που είναι η απόσταση που ψάχνουμε. Πολλ/ζουμε τις (α) και (β) με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών 120, 80, και 60, που είναι το 240 και έχουμε: 2x + 3y + 4z = 6 * 240 4x + 3y + 2z = 4 * 240 Προσθέτουμε κατά μέλη: 6(x + y + z) = 10*240 άρα: x + y + z = 400 Λύση του Ε. Αλεξίου. Χ η κατηφόρα Υ η ευθεία και Ζ ανηφόρα Χ/120 +Υ/80 +Ζ/60 =6 ώρες από Φλωρεντία πρός Πίζα. Χ/60 +Υ/80 +Ζ/120 =4 ώρες από Πίζα σε Φλωρεντία. Προσθέτω κατά μέλη (Χ/120+Χ/60)+2Υ/80+(Ζ/60+Ζ/120)=10=>3Χ/120 +3Υ/120 +3Ζ/120=10 => (3Χ+3Υ+3Ζ)/120=10 => 3*(Χ+Υ+Ζ)=1200 => Χ+Υ+Ζ = 400 χιλιόμετρα Συνεπώς απέχουν 400 χιλιόμετρα Αφαιρώ κατά μέλη Χ/120-Χ/60 +Ζ/60-Ζ/120=2 => -Χ/120+Ζ/120=2 => Ζ-Χ=240 40/120 +80/80 +280/60 = 6 ώρες 40/60 +80/80 +280/120 = 4 ώρες Λύση του Papaveri. Η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων είναι 400Km. Έστω ότι η διαδρομή από την πόλη Φλωρεντία προς την πόλη Πίζας έχει «x» χιλιόμετρα ανηφόρα, «y» χιλιόμετρα ευθεία , και «z» χιλιόμετρα κατηφόρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος θα έχουμε: x/120+y/80+z/60=6 (1) x/60+y/80+z/120=4 (2) Προσθέτουμε κατά μέλη την (1) και (2) κι’ έχουμε: x/120+x/60=(x +2x)/120=3x/120=x/40 y/80+y/80=2y/80=y/40 z/60+z/120=(2z+z)/120=3z/120=z/40 x/40+y/40+z/40=10 --> x+y+z=10*40 x+y+z=400km = απόσταση των δύο πόλεων.

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Έστω ότι η ολική απόσταση ανά: κατηφόρα, ευθεία, και ανηφόρα, στο ταξίδι του πηγαιμού προς Πίζα, είναι x, y, και z, αντίστοιχα.
Ο χρόνος για να διανυθεί μια απόσταση ,έστω d ,είναι d/v. (v=η ταχύτητα)
Έτσι ,για το ταξίδι του πηγαιμού ισχύει:
x/120 + y/80 + z/60 = 6 (α)
Στο ταξίδι επιστροφής, τα ισιώματα παραμένουν ισιώματα, αλλά οι αρχικές ανηφόρες γίνονται κατηφόρες και αντίστροφα ,άρα έχουμε:
x/60 + y/80 + z/120 = 4 (β)
Σύστημα 2 εξισώσεων με 3 αγνώστους, αλλά μας ενδιαφέρει το x+y+z που είναι η απόσταση που ψάχνουμε.
Πολλ/ζουμε τις (α) και (β) με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών 120, 80, και 60, που είναι το 240 και έχουμε:
2x + 3y + 4z = 6 * 240
4x + 3y + 2z = 4 * 240
Προσθέτουμε κατά μέλη:
6(x + y + z) = 10*240
άρα: x + y + z = 400
H απόσταση Φιρέντσε-Πίζα είναι κουάτροτσέντο κιλόμετρι,πόι! :-)

(που σημαίνει ότι ή οι πόλεις απομακρύνθηκαν επικίνδυνα.., ή ότι κάπου έχω κάνει λάθος στις πράξεις, ή ότι δεν φρόντισες Κάρλο τα νούμερα να βγάζουν περίπου τη σωστή απόσταση, στο ωραίο αυτό πρόβλημα)
Αν ισχύει το τρίτο, για τιμωρία να πας να ισιώσεις τον γνωστό πύργο στην πατρίδα του Φιμπονάτσι :-)

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Χ η κατηφόρα Υ η ευθεία και Ζ ανηφόρα
Χ/120 +Υ/80 +Ζ/60 =6 ώρες από Φλωρεντία πρός Πίζα.
Χ/60 +Υ/80 +Ζ/120 =4 ώρες από Πίζα σε Φλωρεντία.
Προσθέτω κατά μέλη
(Χ/120+Χ/60)+2Υ/80+(Ζ/60+Ζ/120)=10=>3Χ/120 +3Υ/120 +3Ζ/120=10 =>
(3Χ+3Υ+3Ζ)/120=10 =>
3*(Χ+Υ+Ζ)=1200 =>
Χ+Υ+Ζ = 400 χιλιόμετρα
Συνεπώς απέχουν 400 χιλιόμετρα
(Μεγάλη παράκαμψη έκαναν κ. Κάρλο!)
Αφαιρώ κατά μέλη
Χ/120-Χ/60 +Ζ/60-Ζ/120=2 =>
-Χ/120+Ζ/120=2 =>
Ζ-Χ=240
40/120 +80/80 +280/60 = 6 ώρες
40/60 +80/80 +280/120 = 4 ώρες

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Πολύ σωστή η παρατήρησή σου. Μάλλον το λάθος είναι ότι διάλεξα μια πόλη πολύ κοντά στη Φλορεντία. Σημασία έχει το σωστό αποτέλεσμα του γρίφου.
Μπράβο σου!

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes