Πέμπτη, 21 Μαρτίου 2013

Το Πλάτος

Δύο βάρκες διασχίζουν ένα ποτάμι από αντίθετες όχθες. Η μια ξεκινάει από την όχθη "Α" και η άλλη από την όχθη "Β". Όταν συναντηθούν για πρώτη φορά βρίσκονται  720μέτρα μακριά από την όχθη "Β". Όταν φτάσουν στις απέναντι όχθες περιμένουν 10λεπτά, για αποβίβαση και επιβίβαση των επιβατών, και διασχίζουν εκ νέου το ποτάμι. Αυτή τη φορά όταν συναντώνται απέχουν 400μέτρα από την όχθη "Α". Πόσο είναι το πλάτος του ποταμού; (Κατ.34/Νο.585)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πλάτος του ποταμού είναι 1.760μέτρα. Υποθέτω σταθερές ταχύτητες για κάθε βάρκα , έστω «V» αυτή της πιο γρήγορης και «v» αυτή της πιο αργής, και «α» το ζητούμενο πλάτος του ποταμού. Στην 1η συνάντηση στα 720μέτρα έχουμε: 720/v =(α -720)/V=t (1) t= o χρόνος συνάντησης και προφανώς η γρήγορη (V) κάλυψε τη μεγαλύτερη απόσταση ίση με α-720 Ο συνολικός χρόνος ,έστω t(v), της αργής είναι :α/v(για να περάσει όλο το πλάτος του ποταμού) +10 λεπτά(αναμονή) + 400/v(μέχρι να φτάσει στο 2ο σημείο συνάντησης) t(v) =α/v +10 +400/v και ισούται με τον t(V) της γρήγορης που είναι t(V)=α/V +10 + ( α-400)/V Ισχύει λοιπόν: α/v +10 +400/v = α/V +10 + ( α-400)/V (2) H (2) δείχνει βέβαια ότι εφ’ όσον αναμένουν τον ίδιο χρόνο και οι δύο βάρκες (10 λεπτά) δεν παίζει κανέναν ρόλο αυτός ο χρόνος και θα μπορούσε να είναι τυχαίος. Η (1) γίνεται: 720*V=v*α – 720v ή v/V = 720/(α-720) (3) Από την (2) έχουμε: v/V= (400+α)/(2α-400) (4) Εξισώνοντας τις (3) και (4) έχουμε: (Εδώ πια επιτέλους, αντιλαμβάνομαι ο βραδύνους ότι πήγα από Αθήνα στο χωριό μου (Λαμία) μέσω Σπάρτης, μια και οι (3) και (4) είναι απολύτως προφανείς εξισώσεις που προκύπτουν από την αναλογία λόγου ταχυτήτων και διανυομένων αποστάσεων (οι χρόνοι αναμονής στις όχθες είναι αδιάφοροι) και θα μπορούσα να έχω καταλήξει σ’ αυτές κατευθείαν, αλλά κρίμα είναι να σβήσω όσα έγραψα..):-) Άρα: 720/(α-720) =(400+α)/(2α-400) -->720*((2α-400)=(400+α)(α-720) --> 1.440α-288.000=400α+α^2-288.000-720α --> 1.440α-400α+720α=α^2+288.000-288.000 --> α^2-1.760α=0 --> α^2=1.760α --> (α^2)/α=1.760 --> α=1.760μ.

2 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Καλησπέρα από το χρεοκοπημένο νησί!
Eνδιαφέρον πρόβλημα!
Υποθέτω απλό τυπογραφικό λάθος Κάρλο, για τις αποστάσεις σε μίλια (αυτό δεν είναι ποτάμι αλλιώς, αλλά η Μάρε Νόστρουμ..) και τις θεωρώ μέτρα. (δεν έχει βέβαια σημασία)
Υποθέτω επίσης σταθερές ταχύτητες για κάθε βάρκα , έστω V αυτή της πιο γρήγορης και v αυτή της πιο αργής.
Έστω α το ζητούμενο πλάτος του ποταμού.
Στην 1η συνάντηση στα 720 μέτρα έχουμε:
720/v = (α - 720)/V =t (1)
t= o χρόνος συνάντησης και προφανώς η γρήγορη (V) κάλυψε τη μεγαλύτερη απόσταση ίση με α-720
Ο συνολικός χρόνος ,έστω t(v), της αργής είναι :α/v(για να περάσει όλο το πλάτος του ποταμού) +10 λεπτά(αναμονή) + 400/v(μέχρι να φτάσει στο 2ο σημείο συνάντησης)
t(v) =α/v +10 +400/v και ισούται με τον t(V) της γρήγορης που είναι
t(V)=α/V +10 + ( α-400)/V
Iσχύει λοιπόν:
α/v +10 +400/v = α/V +10 + ( α-400)/V (2)
H (2) δείχνει βέβαια ότι εφ’όσον αναμένουν τον ίδιο χρόνο και οι δύο βάρκες (10 λεπτά) δεν παίζει κανέναν ρόλο αυτός ο χρόνος και θα μπορούσε να είναι τυχαίος.
Η (1) γίνεται:
720*V=v*α – 720v ή
v/V = 720/(α-720) (3)
Από την (2) έχουμε:
v/V= (400+α)/(2α-400) (4)
Εξισώνοντας τις (3) και (4) έχουμε:
(Eδώ πια επιτέλους, αντιλαμβάνομαι ο βραδύνους ότι πήγα από Αθήνα στο χωριό μου (Λαμία) μέσω Σπάρτης, μια και οι (3) και (4) είναι απολύτως προφανείς εξισώσεις που προκύπτουν από την αναλογία λόγου ταχυτήτων και διανυόμενων αποστάσεων (οι χρόνοι αναμονής στις όχθες είναι αδιάφοροι) και θα μπορούσα να έχω καταλήξει σ’αυτές κατευθείαν, αλλά κρίμα είναι να σβήσω όσα έγραψα..):-)
Άρα: 720/(α-720) =(400+α)/(2α-400)

α^2 – 1760α = 0
(λύσεις: {0 , 1760} )
Άρα α=1760 μέτρα

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Γιώργο έχεις δίκιο. Το διόρθωσα σε μέτρα. Ωραία η λύση που έδωσες. Υπάρχει ένας γρίφος με τα κουνέλια που κοντέβουν να μη χωράνε στο χώρο που βρίσκονται από το πολλαπλασιασμό τους μετά από τόσες ημέρες. Ρίξε μια ματιά για να το κλείσουμε το θέμα.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes