Πέμπτη, 17 Μαΐου 2012

Οι Χειραψίες

Τα μέλη μιας ομάδας ποδοσφαίρου συναντήθηκαν στο αθλητικό σωματείο τους για να συζητήσουν για τον επόμενο αγώνα, υψίστης βαθμολογικής αξίας γι’ αυτούς, που θα δώσουν και αντάλλαξαν μεταξύ τους 36 χειραψίες. Πόσα άτομα παραβρέθηκαν σ’ αυτή την συνάντηση; (Κατ.32/Πρβλ. Νο.36)

Λύση

Αν ν>1 είναι τα μέλη της ομάδας και ας δεχτούμε ότι όλοι αντάλλαξαν χειραψία (γιατί αυτό δεν διευκρινίζεται) μία μόνο φορά, τότε κάθε ένας θα αντάλλασε χειραψία με τους υπόλοιπους ν-1. Και επειδή κατ΄αυτό τον τρόπο οι χειραψίες καταμετρούνται δύο φορές, προκύπτει η εξίσωση: ν(ν-1)/2=36 ή ν^2-ν-72=0 με ρίζες ν=-8(απορριπτέα) και ν=9 (δεκτή). Επομένως όλα τα μέλη ήταν εννέα(9). Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσαμε να το αντιμετωπίσουμε και από την σκοπιά της Γεωμετρίας. "Ποιό είναι το κυρτό πολύγωνο που το άθροισμα των πλευρών και διαγωνίων του είναι 36." - Πλευρές: ν - Διαγώνιες: ν(ν-3)/2 Άθροισμα πλευρών και γωνιών: ν + ν(ν-3)/2 = 36 ή 2ν + ν(ν-3) = 72 ή ν^2 - ν - 72 = 0 που είναι η ίδια με την προαναφερθείσα και με δεκτή λύση; ν = 9.

5 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

9 άνθρωποι.
Πρακτική αριθμητική: O πρωτος κανει χειραψια με 8. Ο επόμενος κανει με 7 (αφου με τον πρωτο εχει ηδη κάνει)κλπ. Δηλαδή 8+7+6+5+4+3+2+1=36

Ο προφανης γενικός τυπος για ν πρόσωπα είναι 1+2+3+...+(ν-2)+(ν-1) .
Αν αντιστρέψουμε την ακολουθια προκυπτει η ίδια σαν: (ν-1)+(ν-2)+...+1
Αν προσθέσουμε κατα μελη τις δύο καθε ορος ειναι ισος με ν (1+ (ν-1), 2+(ν-2) κλπ) Αρα το αθροισμα ειναι ν για ν-1 όρους (ν-1) φορές,αρα ν*(ν-1)/2 ο γενικός τύπος.

Τωρα ισως να ανακάλυψα την Αμερικη, αποδεικνυοντας έναν μάλλον γνωστο τύπο για το αθροισμα αριθμητικης προόδου.:-)

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Πολύ σωστά το ανέλυσες.

Ανώνυμος είπε...

Αν ν>1 είναι τα μέλη της ομάδας και ας δεχτούμε ότι όλοι αντάλλαξαν χειραψία (γιατί αυτό δεν διευκρινίζεται) μία μόνο φορά, τότε κάθε ένας θα αντάλλασε χειραψία με τους υπόλοιπους ν-1.
Και επειδή κατ΄αυτό τον τρόπο οι χειραψίες καταμετρούνται δύο φορές,
προκύπτει η εξίσωση:
ν(ν-1)/2=36 ή ν^2-ν-72=0 με ρίζες ν=-8(απορριπτέα) και ν=9 (δεκτή).
Επομένως όλα τα μέλη ήταν εννέα(9).

Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσαμε να το αντιμετοπίσουμε και από την σκοπιά της Γεωμετρίας.
Ποιό είναι το κυρτό πολύγωνο που το άθροισμα των πλευρών και διαγωνίων του είναι 36.
- Πλευρές: ν
- Διαγώνιες: ν(ν-3)/2
Άθροισμα πλευρών και γωνιών:
ν+ν(ν-1)/2=36 ή
ν^2-ν-72=0 που είναι η ίδια με την προαναφερθείσα.

Ν.Lntzs

Papaveri είπε...

@Ν.Lntzs
Πολύ ωραία η διατύπωση της λύσης.
θα την αναρτήσω.

Ανώνυμος είπε...

ΔΙΟΡΘΩΣΗ
Το 2ο μέρος του παραπάνω σχολίου μου αντικαθίσταται με το παρακάτω:
Το πρόβλημα αυτό θα μπορούσαμε να το αντιμετωπίσουμε και από την σκοπιά της Γεωμετρίας.

"Ποιό είναι το κυρτό πολύγωνο που το άθροισμα των πλευρών και διαγωνίων του είναι 36."
Πλευρές: ν
Διαγώνιες: ν(ν-3)/2
Άθροισμα πλευρών και γωνιών:
ν + ν(ν-3)/2 = 36 ή
2ν + ν(ν-3) = 72 ή
ν^2 - ν - 72 = 0
που είναι η ίδια με την προαναφερθείσα
και με δεκτή λύση: ν = 9.

Ν.Lntzs

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes