Οι Αριθμοί

Να βρεθούν οι τρεις μικρότεροι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί που το γινόμενό τους ισούται με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους. (Κατ.34/Νο.656)

Λύση

Οι ζητούμενοι μικρότεροι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί είναι οι -6, -5, και -4. Έστω οι τρεις διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί της μορφής (ν-1)ν(ν+1)τότε: (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) --> (ν^2-ν)(ν+1)=8*3ν --> ν^3-ν^2+ν^2-ν=24ν -->(ν^3-ν)=24ν ν(ν^2-1)=24ν --> ν(ν^2-1)-24ν=0 --> ν^3-ν-24ν=0 --> ν^3-25ν=0 --> ν(ν^2-25)=0 ν(ν-5)(ν+5)=0 Για [ν=0 ή ν=5 ή ν=-5] οι λύσεις είναι: Για ν=5 οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: 4, 5, 6 (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) --> (5-1)5(5+1)=8(5-1+5+5+1) --> 4*5*6=8*15 --> 4*5*6=120 Για ν=-5 οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: -6, -5, -4 (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) --> (-5-1)(-5)(-5+1)=8(-5-1+(-5)+(-5)+1) --> (-6)(-5)(-4)=8(-6-5-5+1) --> -120=8(-15) Για ν=0 οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: -1, 0, +1 (ν-1)ν(ν+1)=8(ν-1+ν+ν+1) -->(0-1)0(0+1)=8(0-1+0+0+1) --> (-1)0(+1)=8*0 που ισχύει Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω «x» ο μικρότερος από τους τρεις ζητούμενους διαδοχικούς ακέραιους αριθμούς, x+1 ο επόμενος και x+2 ο μεθεπόμενος Ισχύει: X*(X+1)*(X+2)=8*(X+X+1+X+2) 8*(X+X+1+X+2)=8(3X+3)=24(X+1) => X*(X+1)*(X+2)=24(X+1) => X*(X+1)*(X+2)-24(X+1)=0 => (X+1)*[X*(X+2)-24]=0 => (X+1)*(X^2+2X-24)=0 => (X+1)*(X^2+2X+4X-4X-24)=0 => (X+1)*(X^2+6X-4X-24)=0 => (X+1)*(X^2+6X-4X-24)=0 => (X+1)*[X*(X+6)-4(X+6)]=0 => (X+1)*(X+6)*(X-4)=0 => Χ=-1, Χ=-6, Χ=4 Μικρότερος ο Χ=-6 =>Χ+1=-6+1=-5 και Χ+2=-6+2=-4 Συνεπώς οι αριθμοί είναι οι: -6, -5, - 4 Επαλήθευση: (-6)*(-5)*(-4)=-120 8*(-6-5-4)=8*(-15)=-120