Πέμπτη, 25 Απριλίου 2013

Το Καλάμι

Ένα καλάμι (μπαμπού) ύψους 32ποδιών, το οποίο εφάπτεται με έναν τοίχο, έσπασε σ’ ένα σημείο και η κορυφή του ακούμπησε στο έδαφος 16 μονάδες από τη βάση του. Σε ποιο σημείο έσπασε;  (Κατ.34/Νο.597)

Λύση

Έσπασε 12μέτρα πάνω απο το έδαφος. Έστω (ΑΔ)=32μέτρα το καλάμι και (ΓΔ) = 32-x μέτρα η αρχική θέση του καλαμιού. Μετά το σπάσιμο και το λύγισμά του η νέα θέση του καλαμιού σχηματίζει τη γωνία ΑΓΒ και (ΑΒ) = 16μ. η απόσταση της βάσεως με τη νέα θέση της κορυφής του καλαμιού μετά το λύγισμα. Το τρίγωνο ΑΒΓ, που σχηματίζεται, είναι ορθογώνιο με : (ΑΒ) = 16μ., (ΑΓ) = xμ., (ΒΓ) = (32-x)μ. Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε: (ΑΒ)^2+ (ΑΓ)^2 = (ΒΓ)^2 --> (16)^2 + (x)^2 = (32-x)^2 --> 256+x^2 =[1.024-(2*32x)+x^2] --> 256+ x^2=1.024-64x +x^2 --> 64x=1.024-256- x^2+ x^2 --> 64x=1.024-256 --> 64x=768 --> x=768/64 x=12μ. Επαλήθευση: (16)^2 + (x)^2 = (32-x)^ --> (16)^2 + (12)^2 = (32-12)^2 --> 16)^2 + (12)^2 = (20)^2 --> 256+144=400 ο.ε.δ.

5 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Με την προυπόθεση ότι είναι κατακόρυφο, αλλιώς είναι αόριστο το πρόβλημα, χωρίς πράξεις από το κλασσικό ορθογώνιο τρίγωνο (3,4,5)*4=
(12,16,20), 12+20=32 πόδια.
Άρα έσπασε στα 12 πόδια, και το υπόλοιπο μήκους 20 ποδών έγειρε και η κορυφή του ακούμπησε στο έδαφος σε απόσταση 16 ποδών από την βάση του.

batman1986 είπε...

Απλό πυθαγόρειο

Αν το μήκος του σπασμένου είναι χ(υποτείνουσα) τότε

(32-χ)^2+16^2=χ^2

1024-64*χ+256=0

χ=20 πόδια

Άρα έσπασε στα 32-20=12 πόδια από το έδαφος

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Σχηματίζεται ορθογώνιο τρίγωνο.;Έστω ότι έσπασε σε απόσταση x από τη βάση του.
Θεώρημα Ουρούκ-Γκιγκαλμές(Πυθαγόρειο) :
x^2+16^2=(32-x)^2
x=12 (πόδια από τη βάση)

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια!! Και οι τρεις δλωσατε τη σωστή απάντηση.
Περιμένω τη λύση στο Rebus51, για ν' αναρτήσω νέο.

Papaveri είπε...

Γιώργο,δυστυχώς δεν μπορώ να να κάνω κάτι στο σχήμα. Νομίζω, όμως, ότι και έτσι είναι κατανοητό.