Σάββατο, 27 Απριλίου 2013

Οι Τρεις Βασιλιάδες

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε 3 βασιλιάδες σε μία σκακιέρα 8x8, έτσι ώστε να μην απειλούνται μεταξύ τους; (Κατ.5/Νο.72)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. (8-1)(8-2)(8^4+3*8^3-20*8^2-30*8+132)/6 =29.708 διαφορετικοί τρόποι. Yποθέτω , "ομόχρωμους" βασιλιάδες. Δηλαδή η διάταξη (βν -βκ) είναι η ίδια με την (βκ - βν)

13 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

(8-1)(8-2)(8^4+3*8^3-20*8^2-30*8+132)/6 =29.708 διαφορετικοί τρόποι.
Yποθέτω , "ομόχρωμους" βασιλιάδες.
Δηλαδή η διάταξη (βν -βκ) είναι η ίδια με την (βκ - βν)

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Πολύ σωστά. Ναι, για ομόχρωμους βασιλιάδες αναφέρεται ο γρίφος.

batman1986 είπε...

Aυτός ο τύπος πως προέκυψε?

Papaveri είπε...

@batman1986
Εσύ τι προτείνεις ως λύση;

batman1986 είπε...

Δεν τον αμφισβήτησα απλά ρωτάω πως προέκυψε.Εγώ πήγα να το λύσω διαφορετικά αλλά το παράτησα όταν είδα ότι λύθηκε.Εφόσον δεν ξέρεις μπορεί να απαντήσει ο Ριζόπουλος

Papaveri είπε...

@batman1986
Ναι,θα ήταν καλό να μας τον αναλύσει

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Δεν μπορώ δυστυχώς να αποκαλύψω όλα τα μυστικά του ακριβούς υπολογισμού, καθότι υπάγεται (η διαφύλαξή τους) στον όρκο που έχω δώσει σαν μέλος της μυστικής αδερφότητας «Die Kombinatorische 3-Koenige Schachgesselschaft der Mathematischen Genies» . Θα δώσω κάποιες γενικές κατευθυντήριες γραμμές, και τον αναλυτικό υπολογισμό για 2 Βασιλιάδες, βρείτε μόνοι σας για 3.
Σε μια τετραγωνική σκακιέρα ν Χ ν υπάρχουν ν^2 τετράγωνα. Μια φιγούρα λοιπόν έχει ν^ 2 επιλογές τοποθέτησης. Στην περίπτωση στάνταρ σκακιέρας 8^2=64.
Μια επόμενη φιγούρα έχει ν^2 -1 επιλογές. Αν είναι διαφορετικές οι φιγούρες έχουμε λοιπόν ν^2*(ν^2 -1) διατάξεις. Αν οι φιγούρες είναι όμως ίδιες (όπως στην περίπτωσή μας), ανά 2 οι διατάξεις είναι ταυτόσημες ,οπότε είναι οι μισές: ½ *( ν^2*(ν^2 -1)) ή όπως λέμε στη συνδυαστική ο διωνυμικός συντελεστής (ν^2, 2) «ν τετράγωνο, πάνω στο 2»
Αναλογικά για 3 διαφορετικές φιγούρες έχουμε ν^2*(ν^2-1)*(ν^2-2) διαφορετικές διατάξεις και για 3 όμοιες έχουμε το 1/6 αυτού του αριθμού (αφού 3!=6) ,δηλαδή :(ν^2 ,3) ή (ν^2)C(3)
Θα πρέπει όμως να αφαιρεθούν οι μη νόμιμες (απειλούμενες) θέσεις μεταξύ 2 Βασιλιάδων
Αυτές αντιστοιχούν ακριβώς στον αριθμό των «δυνατών κινήσεων του βασιλιά» ώστε με κάθε κίνησή του να μην πηγαίνει σε τετράγωνο που καλύπτει ο άλλος, που είναι
4(2ν-1)(ν-1) . Άρα προκύπτουν : (ν^2) *[(ν^2 -1)-4(2ν-1)(ν-1)]=(ν-1)(ν-2)(ν^2+3ν-2)
Που αντιστοιχεί σε 3612 διατάξεις για σκακιέρα 8 Χ 8.
Αλλά και πάλι βέβαια για «ομόχρωμους» , είναι το μισό = 1806 διατάξεις.
Με τον ίδιο τρόπο βγαίνει και ο τύπος για 3 βασιλιάδες και σκακιέρα ν Χ ν
Διατάξεις 3 Β= (1/6)*(ν-1)(ν-2)(ν^4+3ν^3-20ν^2-30ν+132)
Και –αν ενδιαφέρει- για 4 Βασιλιάδες ,ο τύπος είναι:
Διατάξεις 4Β= (1/24)*(ν^8 -54ν^6 + 72ν^5 +995ν^4 – 2472ν^3 -5094ν^2 +21480ν -17112)
Σημ.: 1/24 επειδή 4!=24

batman1986 είπε...

@RIZOPOULOS

Γιώργο ευχαριστώ,αρκετά κατανοητή η εξηγησή σου.Αλήθεια πως μπορώ να μπω στην μυστική αδερφότητα?:-):-):-)

batman1986 είπε...

Θα δώσω και δικό μου τρόπο όταν βρω χρόνο.Του Ριζόπουλου η λύση ήταν εξαιρετική και σαφέστατη μετά την εξηγησή του

batman1986 είπε...

"Αναλογικά για 3 διαφορετικές φιγούρες έχουμε ν^2*(ν^2-1)*(ν^2-2) διαφορετικές διατάξεις και για 3 όμοιες έχουμε το 1/6 αυτού του αριθμού (αφού 3!=6) ,δηλαδή :(ν^2 ,3) ή (ν^2)C(3)"

Στην προσπαθειά μου αυτό το σκέλος το βρήκα.Το προβλημά μου ήταν στις περιπτώσεις που πρέπει να αφαιρέσουμε.....

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Μπάτυ μπόι, δεν ξέρω αν μπορείς να γίνεις δεκτός στην αδελφότητα. Όχι ότι δεν έχεις τα πνευματικά προσόντα, κάθε άλλο! Αλλά μάλλον υστερείς λίγο στα «ηθικά» κριτήρια:-) Ξέρεις ,οι σκοτεινοί τύποι που υπερίπτανται πάνω από την Γκόθαμ σίτυ αντιμετωπίζονται με κάποιον σκεπτικισμό από τα παιδιά στο διευθυντήριο της αδελφότητας…
Θα κάνω πάντως μια θετική εισήγηση διά το άτομόν σο, κι αν έχω κάτι θα σε ένημερώσω για την τελετή μύησης!:-)

batman1986 είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS

Ναι αλλά στο τέλος θα δικαιωθώ όπως και στην ιστορία του μπάτμαν(σαν εγκληματία τον είχαν στην αρχή):-):-)

batman1986 είπε...

@RIZOPOULOS

Ωχ είναι αδελφότητα συνδυασμών(Die Kombinatorische).Μη με βάλετε στην τελετή να λύσω κανά κύβο του ρούμπικ σε σύντομο χρονικό διάστημα!:-)

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes