Τετάρτη, 24 Απριλίου 2013

Οι Κληρονόμοι

Είκοσι κληρονόμοι συμφώνησαν να καθίσουν σε ένα στρογγυλό τραπέζι και να μοιράσουν την κληρονομιά με τον εξής τρόπο: ο καθένας θα παίρνει το μέσο όρο των δύο διπλανών του. Με πόσους τρόπους μπορεί να μοιραστεί η κληρονομιά; (Κατ.14/Νο.24)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Με έναν και μοναδικό. Απολύτως προφανές ότι όλοι οι αριθμοί/μερίδια πρέπει να είναι ίσα αλλιώς ο κύκλος δεν "κλείνει", οπότε ο καθένας είναι ίσος με 1/20 της κληρονομιάς. Αλλά ,μιας και δεν έχω τίποτα καλύτερο να κάνω, ας δώσω και μια αυστηρώς μαθηματική απόδειξη. Έστω ότι τα μερίδια είναι: μ1, μ2, μ3,…,μ20 . Έστω ότι οι αριθμοί δεν είναι όλοι ίσοι ,άρα υπάρχει κάποιο μέγιστος έστω ο μ(ν). Ισχύει τότε μ(ν) ≥ μ(ν-1) και μ(ν) ≥ μ(ν+1) άρα μ(ν) ≥ [μ(ν-1)+μ(ν+1)]/2 ,αλλά ξέρουμε ότι ισχύει: μ(ν) = [μ(ν-1)+μ(ν+1)]/2 που σημαίνει ότι οι ανισοισότητες πιο πάνω είναι στην πραγματικότητα μόνο ισότητες, δηλαδή: μ(ν)=μ(ν-1)=μ(ν+1) Με το ίδιο σκεπτικό για τον μ(ν-1) συμπεραίνουμε ότι ο μ(ν+1) ταυτίζεται με τον μ(ν+2). Και επαγωγικά καταλήγουμε ότι όλοι οι αριθμοί μ(ν) για ν=(1,2,..20) είναι ίσοι, και ίσοι με (1/20)*Κ

1 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Με έναν και μοναδικό. Απολύτως προφανές ότι όλοι οι αριθμοί/μερίδια πρέπει να είναι ίσα αλλιώς ο κύκλος δεν "κλείνει", οπότε ο καθένας είναι ίσος με 1/20 της κληρονομιάς.
Αλλά ,μιας και δεν έχω τίποτα καλύτερο να κάνω, ας δώσω και μια αυστηρώς μαθηματική απόδειξη.
Έστω ότι τα μερίδια είναι: μ1, μ2, μ3,…,μ20 . Έστω ότι οι αριθμοί δεν είναι όλοι ίσοι ,άρα υπάρχει κάποιο μέγιστος έστω ο μ(ν). Ισχύει τότε μ(ν) ≥ μ(ν-1) και μ(ν) ≥ μ(ν+1) άρα
μ(ν) ≥ [μ(ν-1)+μ(ν+1)]/2 ,αλλά ξέρουμε ότι ισχύει:
μ(ν) = [μ(ν-1)+μ(ν+1)]/2 που σημαίνει ότι οι ανισοισότητες πιο πάνω είναι στην πραγματικότητα μόνο ισότητες, δηλαδή:
μ(ν)=μ(ν-1)=μ(ν+1)
Με το ίδιο σκεπτικό για τον μ(ν-1) συμπεραίνουμε ότι ο μ(ν+1) ταυτίζεται με τον μ(ν+2).
Και επαγωγικά καταλήγουμε ότι όλοι οι αριθμοί μ(ν) για ν=(1,2,..20) είναι ίσοι, και ίσοι με (1/20)*Κ

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes