Οι Καραμέλες

Η κυρία Μαρία, η γιαγιά της Ιουλίας, της Μαρία και του Στέφανου, είχε στο ντουλάπι της κουζίνας της ένα μεγάλο βάζο με καραμέλες. Μια μέρα η Ιουλία, χωρίς να πει τίποτα σε κανέναν, παίρνει το 1/3 από τις καραμέλες που υπήρχαν στο βάζο. Στη συνέχεια, η Μαρία, χωρίς να πει τίποτα κι’ αυτή σε κανέναν, παίρνει το 1/3 των υπόλοιπων από το βάζο. Τέλος, ο Στέφανος, χωρίς να πει τίποτα κι’ αυτός σε κανέναν, παίρνει το 1/3 των υπόλοιπων αφήνοντας μέσα στο βάζο 40 καραμέλες. Πόσες καραμέλες είχε αρχικά το βάζο; (Κατ.34/Νο.651)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_3437.html

Λύση

Το βάζο είχε 135 καραμέλες. Η Ιουλία πήρε 45 καραμέλες, Η Μαρία πήρε 30 καραμέλες ο Στέφανος πήρε 20 καραμέλες. Στο βάζο έμειναν 40 καραμέλες.. Έστω «α» οι καραμέλες που υπήρχαν στο βάζο στην αρχή. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: α) Η Ιουλία πήρε το 1/3 από αυτές και μένουν υπόλοιπες: α – α/3 = (3α-α)/3 = 2α/3 καραμέλες β)Η Μαρία πήρε το 1/3 από τις υπόλοιπες: (2α/3)*1/3=2α/9καραμέλες και μένουν υπόλοιπες: (2α/3)-(2α/9)= [(3*2α)-2α]/9= (6α-2α)/9= 4α/9 καραμέλες γ)Ο Στέφανος πήρε το 1/3 από τις υπόλοιπες: (4α/9)*1/3=4α/27 καραμέλες και μένουν υπόλοιπες: (4α/9)-(4α/27)=[(3*4α)-4α]/27=(12α-4α)/27=8α/27 καραμέλες Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, έμειναν 40 καραμέλες μέσα στο βάζο έχουμε τη εξίσωση: δ) 8α/27=40 --> 8α=40*27 --> 8α=1.080 --> α=1.080/8 --> α =135 καραμέλες. Επαλήθευση: α) α/3 --> 135/3 = 45 καραμέλες β) 2α/9 --> (2*135)/9 = 2*15 = 30 καραμέλες γ) 4α/27 --> (4*135)/27=4*5=20 καραμέλες Άρα 45+30+20+40=135 καραμέλες ο.ε.δ.