Η Διανομή

Ένας Δήμος αποτελείται από τρία χωριά: 

Το «Α» με πληθυσμό 1.000 κατοίκους και έκταση 3χλμ^2.

Το «Β» με πληθυσμό 1.500 κατοίκους και έκταση 4χλμ^2.

Το «Γ» με πληθυσμό 2.000 κατοίκους και έκταση 5χλμ^2.

Το Δημοτικό Συμβούλιο αποφάσισε να διανέμει ένα μεγάλο χρηματικό ποσό μεταξύ των τριών χωριών, για διάφορα εγγειοβελτιωτικά έργα, ανάλογα με τον πληθυσμό τους. Όμως μετά από διαμαρτυρίες των κατοίκων του χωριού «Α», άλλαξε την απόφασή του και τελικά η διανομή έγινε ανάλογα με την έκταση του κάθε χωριού. Έτσι με το δεύτερο τρόπο διανομής το χωριό «Α» πήρε 20.000 €  περισσότερα απ’ ότι με τον αρχικό τρόπο διανομής. Να βρείτε: 

α) Πόσο ήταν το συνολικό ποσό που διενεμήθει στα χωριά. 

β) Ποια κοινότητα με το δεύτερο τρόπο διανομής πήρε λιγότερα χρήματα και πόσα Ευρώ λιγότερα;

(Κατ.34/Νο.648)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. α) Συνολικό ποσό 720.000€ β) Το “Γ” παίρνει λιγότερα, 20.000€ λιγότερα Έ στω Χ το ποσό που διανεμήθηκε στα 3 χωριά. Με τον πρώτο τρόπο τα χωριά θα πάρουν: Το “Α” Χ*1.000/(1.000/(1.000+1.500+2.000)=Χ*(1.000/4.500)=2Χ/9, Το “Β” Χ*1.500/4.500=Χ/3, Το “Γ” Χ*2000/4.500=4Χ/9, Με τον δεύτερο τρόπο τα χωριά θα πάρουν: Το “Α” Χ*3/(3+4+5)=Χ*3/12=Χ/4, Το “Β” Χ*4/12=Χ/3, Το “Γ” Χ*5/12=5Χ/12, α) Άρα το “Α” πήρε παραπάνω Χ/4 -2Χ/9 =Χ/36 => Χ/36 =20.000 => Χ=36*20.000=720.000€ β) Το “Α” χωριό παίρνει με τον πρώτο τρόπο 2*720.000/9=160.000€ και με τον δεύτερο τρόπο 720.000/4=180.000€ Το “Β” χωριό παίρνει ίδιο ποσό 720.0000/3=240.000€ Το “Γ” παίρνει με τον δεύτερο τρόπο διανομής λιγότερα, 5Χ/12-4Χ/9=-1/36 =-720.000/36=-20.000€ (Α 20.000, 20.000-20.000=0) Λύση του sw. Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχουμε για τον πρώτο τρόπο διανομής τα χωριά να παίρνουν εάν θεωρήσουμε x το συνολικό ποσόν που θα μοιραστεί και 4,5 μέρη που πρέπει να χωριστεί το ποσόν αυτό, αφού έχουμε 1+1,5+2=4,5 η αναλογία πληθυσμού. Α=x*10/45 Β=x*15/45 Γ=x*20/45 Και αντίστοιχα για το δεύτερο τρόπο διανομής με 12 μέρη που θα χωριστεί το ποσόν ανάλογα με την έκταση Α=x*3/12 Β=x*4/12 Γ=x*5/12 Εάν εξισώσουμε τώρα τις δύο περιπτώσεις του χωριού Α θα έχουμε x*(10/45)+20.000=x*(3/12) -->(10x+900.000)/45=3x/12 --> (10x+900.000)/3x=45/12 --> 10+(900.000/x)=135/12 --> 900.000/x=(135/12)-10 --> x*[(135/12)-10]=900.000 --> x*[(135-10*12)]=900.000*12 --> x(135-120)=10.800.000 --> 15x=10.800.000 --> x=10.800.000/15 --> x=720.000€ το ποσό που θα μοιραστεί. Με τον πρώτο τρόπο θα πάρουν: Α=160.000€ Β=240.000€ Γ=320.000€ Με τον δεύτερο τρόπο θα πάρουν: Α=180.000€ Β=240.000€ Γ=300.000€ Αδικημένο με τον δεύτερο τρόπο είναι το χωριό Γ που θα χάσει 20.000€ και θα τα πάρει το χωριό Α. Το χωριό Β και με τους δύο τρόπους θα πάρει τα ίδια χρήματα. Λογικό αφού και με τους δύο τρόπους παίρνει το 1/3 του συνόλου.