Σάββατο, 12 Οκτωβρίου 2013

Η Σκάλα

Μία σκάλα έχει 5 σκαλοπάτια. Ανεβαίνουμε και κατεβαίνουμε τη σκάλα πατώντας μία φορά σε κάθε σκαλοπάτι (χωρίς να πατάμε στο έδαφος), μετρώντας 1 για το 1ο σκαλοπάτι, 2 για το 2ο , κλπ μέχρι το 5 για το 5ο. Στο έκτο βήμα, αρχίζουμε και κατεβαίνουμε μετρώντας 6 για το 4ο σκαλοπάτι, 7 για το 3ο, κλπ. Όταν μετρήσουμε μέχρι το 1.000 σε ποιο σκαλοπάτι θα βρισκόμαστε;(Κατ.3/Νο.26)
Πηγή: Παράρτημα Ε.Μ.Ε. – Διαγωνισμός Α΄ Γυμνασίου - 2013

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Στο δεύτερο σκαλοπάτι.Ο πρώτος «κύκλος» ανέβα-κατέβα είναι 9 πατήματα και οι υπόλοιποι «κύκλοι» 8 πατήματα ο καθένας συν τα τελευταία πατήματα, έστω «α». Όπου «α» μεγαλύτερο η ίσο του μηδενός και «α» μικρότερο του οκτώ, άρα ισχύει: 1.000 = 1+8κ+α --> 8κ+α=999 --> 124*8+7=999 Άρα στο χιλιοστό πάτημα θα βρισκόμαστε στον 7ο του τελευταίου κύκλου, δηλαδή, στο 2ο σκαλοπάτι. Ή με χρήση mod, 999mod8 =(ισοδύναμο) 7mod8, άρα στο 2 σκαλοπάτι. Λύση του Papaveri. Το δεύτερο σκαλοπάτι είναι το χιλιοστό. Και τούτο, διότι κατά την αρίθμηση το 1o σκαλοπάτι καταμετρήθηκε ως 1ο, 9ο, 17ο,...,n-oστό. Οι ανωτέρω όροι αποτελούν αριθμητική πρόοδο με: Πρώτο όρο: α=1 Λόγο: ω=8 ν =μικρότερο ή ισο του 1.000 Τελευταίο όρο: τ=; Από το τύπο τ=[α+(ν-1)*ω] βρίσκουμε το τελευταίο όρο της αριθμητικής πορόδου. Το «ν» είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 1+(ν-1)*8μικρότερο ή ισο του 1.000 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του (1.000-1)/8 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του 999/8 --> (ν-1)μικρότερο ή ισο του 124,075 --> (ν)μικρότερο ή ισο του 124,075+1 --> (ν) μικρότερο ή ισο του 125,075 Άρα ν=125. Οπότε έχουμε: τ=[α+(ν-1)*ω] --> τ=[1+(125-1)*8] --> τ=[1+(124)*8 ] --> τ = 1+992 --> τ=993 Επομένως ο αριθμός 993 αντιστοιχεί στο πρώτο σκαλοπάτι και απομένουν 7(1.000-993) αριθμοί μέχρι το 1.000, που πολύ εύκολα, κάνοντας την αντίστοιχία, βρίσκουμε ότι ο αριθμός 1.000 αντιστοιχεί στη δεύτερο σκαλοπάτι.

12 σχόλια:

batman1986 είπε...

Η περίοδος για να καταλήξουμε με βήμα 1mod5 στο 1ο σκαλοπάτι είναι τα 40 βήματα(πρακτικά η διαδικασία ξεκινάει πάλι από την αρχή με περίοδο 40 βημάτων και ξανά το ίδιο)

Αφού λοιπόν 1000=40*25 τότε στο 1000ο βήμα βρισκόμαστε στο 2ο σκαλοπάτι

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Στο 2ο σκαλοπάτι.
Ο πρώτος “κύκλος” ανέβα-κατέβα είναι 9 πατήματα και οι υπόλοιποι “κύκλοι” 8 πατήματα
ο καθένας συν τα τελευταία, έστω α, (0
8κ+α=999 =>124*8+7=999, άρα στο 1000 θα είμαστε στο 2ο σκαλοπάτι.
Ή με χρήση mod, 999mod8 =(ισοδύναμο) 7mod8, άρα στο 2 σκαλοπάτι.

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Στο σημείο που είναι γραμμένο το φαινομενικά ξεκάρφωτο "έστω α,(0" είχα στείλει "...έστω α, (0
8κ+α=999 =>.... αλλά η "μαύρη τρύπα" του διαδικτύου το κατάπιε (να υποψιαστώ δολιοφθορά?, αστειεύομαι φυσικά!)
Στην λύση Μπάτμαν να προσθέσω ότι η μικρότερη περίοδος βημάτων μα βάση το 2ο σκαλοπάτι είναι τα 8 βήματα 8*125=1000.

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Τι σημαίνει αυτό που γράψατε:
"έστω α,(0"
διότι δεν κατάλαβα το νόημα.

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Και την 2η φορά δεν ήρθε το μήνυμα μου ολόκληρο σε αυτό το σημείο γιαυτό δεν βγάζει νόημα.
Το ξαναγράφω και το ξαναστέλνω.
..."σύν τα τελευταία α, 0 8κ+α=999 ...

Papaveri είπε...

@Ε.Αλεξίου
Πάλι δεν καταλαβαίνω.

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

3η φορά τα ίδια. Άλλα αντί άλλων!
και εγώ δεν καταλαβαίνω γιατί αυτό που γράφω και στέλνω ελάχιστη σχέση έχει με αυτό που διαβάζω! Αποσπασματικά λέξεις και αριθμοί ατάκτως ερριμμένα.
Δεν έχει νόημα να το ξαναστείλω!

Papaveri είπε...

@Ε.Αλεξίου
Γιατί δεν στέλνετε τη λύση εκ νέου λίγο τροποποιημένη; Περίπου σαν τη δική μου.

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Το πρόβλημα δεν είναι στην λύση, που είναι σωστή, αλλά στο ότι στο επίμαχο σημείο,
από δέκα-δεκαπέντε λέξεις, αριθμούς και μαθηματικά σύμβολα αναρτώνται μόνο 4-5.
Αντικαθιστώ τα μαθηματικά σύμβολα και κάποιους αριθμούς με αντίστοιχες λέξεις,
μήπως το “ξεγελάσω”

Στο 2ο σκαλοπάτι.
Ο πρώτος “κύκλος” ανέβα-κατέβα είναι 9 πατήματα και οι υπόλοιποι “κύκλοι” 8
πατήματα ο καθένας συν τα τελευταία πατήματα, έστω α. Όπου α μεγαλύτερο η ίσο
του μηδενός και μικρότερο του οκτώ, άρα ισχύει:
Χίλια = 1+8κ+α => 8κ+α=999 =>124*8+7=999
Άρα στο 1000ο πάτημα θα βρισκόμαστε στο 7ο του τελευταίου κύκλου,
δηλαδή στο 2ο σκαλοπάτι.

Papaveri είπε...

@Ε.Αλεξίου
Ναι, αυτό ήταν το επίμαχο σημείο του προβλήματος. Ενώ η λύση ήταν σωστή,την ανοσότητα δεν τη δεχόταν σαν σύμβολο, αλλά μόνο με περιγραφεί. Το ίδιο θέμα αντιμετώπισα κι' έγω σε ορισμένους γρίφους. Τέλος καλό όλα καλά.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes