Τα Μπισκότα

Η κυρία Μαρία μόλις έβγαλε από το φούρνο τα μπισκότα που έφτιαξε,τα οποία είναι λιγότερα από 50, και ευωδίασε όλο το σπίτι. Τα παιδιά της και οι φίλοι τους αμέσως τρέξανε να πάρουνε για να φάνε. Αντιμετωπίζει όμως το εξής πρόβλημα:

Εάν τα μοιράσει εξίσου σε τέσσερα παιδιά της περσσεύει ένα.
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε πέντε παιδιά της περσσεύουν τέσσερα.
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε επτά παιδιά δεν της περσσεύει κανένα.
Πόσα μπισκότα έφτιαξε; (Κατ.34/Νο.646)

Λύση

Λύση του Papaveri. Η κυρία Μαρία έφτιαξε 49 μπισκότα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: ω=4α+1 (1), ω=5β+4 (2), ω=7γ (3). Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) και στη (2)κι’ έχουμε: Α)ω=4α+1 --> 7γ=4α+1 --> γ=(4α+1)/7 (4), Β)ω=5β+4 --> 7γ=5β+4 --> γ=(5β+4)/7 (5). Διερεύνηση: Στις (4) και (5) λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «α» και «β» τις τιμές από το 1 έως το «ν», με δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδικές τιμές που ικανοποιεούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «γ», με «ω» μικρότερο του 50, είναι ο αριθμός α=12 για το (4)και β=9 για το (5). Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στη (4) και τη τιμή του «β» στη (5) κι’ έχουμε: γ=(4α+1)/7 --> γ=((4*12)+1)/7 --> γ=(48+1)/7 --> γ=49/7 --> γ=7 (6) γ=(5β+1)/7 --> γ=((5*9)+1)/7 --> γ=(45+4)/7 --> γ=49/7 --> γ=7 (7) Επαλήθευση: ω=4α+1 --> ω=[(4*12)+1] --> ω=48+1 --> ω=49 ω=5β+4 --> ω=[(5*9)+4] --> ω=45+4 --> ω=49 ω=7γ --> ω=7*7 --> ω=49 Λύση του batman1986. Η κυρία Μαρία έφτιαξε 49 μπισκότα. Aπό τα δεδομένα προκύπτει ότι: λ=4α+1 (1) λ=5β+4 (2) λ=7γ (3) Άρα: λ+3=4*(α+1) λ+1=5*(β+1) λ=7γ Προκύπτει λ=49 αφού επαληθεύονται τα παραπάνω λ=49 50=5*10 52=4*13 Αυτη είναι η ελάχιστη λύση,δεν είναι μοναδική. Γενικά ισχύει για γ = 7,17,27,37,...n