Τετάρτη, 16 Οκτωβρίου 2013

Τα Μπισκότα

Η κυρία Μαρία μόλις έβγαλε από το φούρνο τα μπισκότα που έφτιαξε,τα οποία είναι λιγότερα από 50, και ευωδίασε όλο το σπίτι. Τα παιδιά της και οι φίλοι τους αμέσως τρέξανε να πάρουνε για να φάνε. Αντιμετωπίζει όμως το εξής πρόβλημα:
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε τέσσερα παιδιά της περσσεύει ένα.
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε πέντε παιδιά της περσσεύουν τέσσερα.
Εάν τα μοιράσει εξίσου σε επτά παιδιά δεν της περσσεύει κανένα.
Πόσα μπισκότα έφτιαξε; (Κατ.34/Νο.646)

Λύση

Λύση του Papaveri. Η κυρία Μαρία έφτιαξε 49 μπισκότα. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: ω=4α+1 (1), ω=5β+4 (2), ω=7γ (3). Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) και στη (2)κι’ έχουμε: Α)ω=4α+1 --> 7γ=4α+1 --> γ=(4α+1)/7 (4), Β)ω=5β+4 --> 7γ=5β+4 --> γ=(5β+4)/7 (5). Διερεύνηση: Στις (4) και (5) λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «α» και «β» τις τιμές από το 1 έως το «ν», με δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδικές τιμές που ικανοποιεούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «γ», με «ω» μικρότερο του 50, είναι ο αριθμός α=12 για το (4)και β=9 για το (5). Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στη (4) και τη τιμή του «β» στη (5) κι’ έχουμε: γ=(4α+1)/7 --> γ=((4*12)+1)/7 --> γ=(48+1)/7 --> γ=49/7 --> γ=7 (6) γ=(5β+1)/7 --> γ=((5*9)+1)/7 --> γ=(45+4)/7 --> γ=49/7 --> γ=7 (7) Επαλήθευση: ω=4α+1 --> ω=[(4*12)+1] --> ω=48+1 --> ω=49 ω=5β+4 --> ω=[(5*9)+4] --> ω=45+4 --> ω=49 ω=7γ --> ω=7*7 --> ω=49 Λύση του batman1986. Η κυρία Μαρία έφτιαξε 49 μπισκότα. Aπό τα δεδομένα προκύπτει ότι: λ=4α+1 (1) λ=5β+4 (2) λ=7γ (3) Άρα: λ+3=4*(α+1) λ+1=5*(β+1) λ=7γ Προκύπτει λ=49 αφού επαληθεύονται τα παραπάνω λ=49 50=5*10 52=4*13 Αυτη είναι η ελάχιστη λύση,δεν είναι μοναδική. Γενικά ισχύει για γ = 7,17,27,37,...n

7 σχόλια:

batman1986 είπε...

Aπό τα δεδομένα προκύπτει

λ=4α+1
λ=5β+4
λ=7γ

άρα λ+3=4*(α+1)
λ+1=5*(β+1)
λ=7γ


Προκύπτει λ=49 αφού επαληθεύονται τα παραπάνω

λ=49 50=5*10 52=4*13

Αυτη είναι η ελάχιστη λύση(δεν είναι μοναδική) .γενικά ισχύει για γ=7,17,27,37 κ.ο.κ

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Η σχέση γ=7,17,27,37,...,(10n+7), n=0,1,2,3 είναι εν μέρει σωστή.
Δεν ισχύει για γ=17,37,57,..., όσον αφορά τα 4 παιδιά (ισχύουν μόνο για τα 5 και 7 παιδιά, όχι όμως για τα 4 παιδιά.
7 mod 4 =3mod7
(17,37,57,..)mod4=1mod4, =>
7*(17,37,57,...)mod4=3mod4*1mod4=3mod (άρα στα 4 παιδιά περισσεύουν 3 μπισκότα)

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Διόρθωση λάθους εκ παραδρομής (πληκτρολογικό), αντί του 7mod4=3mod7, το σωστό φυσικά είναι:
7mod4=3mod4

batman1986 είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ

Ευχαριστώ για τη διόρθωση.Μου ξέφυγαν παραπάνω αριθμοί πάνω στη βιασύνη μου(για ασφάλεια άλλη φορά θα τα γρ'αφω σε μορφή ολοκληρωτικού υπολοίπου)

batman1986 είπε...

@EAΛΕΞΙΟΥ

Και τα συγχαρητηριά μου που βρήκες το ρεμπούς Αρκτικός κύκλος.Είσαι πολύ ευρυμαθής

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

@ batman1986

-Σε ευχαριστώ για τα επαινετικά σου λόγια.
-Το Πολύ ευρυμαθής, μάλλον είναι υπερβολικό, ευρυμαθής ή πολυμαθής μπορεί και να είμαι.
-Σαφέστατα από βιασύνη, για όσους σε ξέρουν έστω και διαδικτυακά, έκανες παραπάνω γενίκευση από όση χρειαζόταν.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes