Οι Πειρατές

Δεκαεπτά πειρατές μετά από ένα ρεσάλτο που κάνανε σ’ ένα εμπορικό πλοίο αποκόμισαν, μεταξύ άλλων, κι’ ένα σεντούκι με άγνωστο αριθμό χρυσών λιρών, τις οποίες μοίρασαν ως εξής:
Ο πρώτος θα πάρει μια, ο δεύτερο μία κ.ο.κ., έως τον δέκατο έβδομο και πάλι από την αρχή. Με τον τρόπο αυτό μοιράζονται οι λίρες και περισσεύουν 5. Πάνω στη συμπλοκή όμως, για το ποιος θα πάρει τις 5 τελευταίες χρυσές λίρες, σκοτώνεται ένας.

Οι εναπομείναντες 16 πειρατές κάνουν εκ νέου τη μοιρασιά, όπως ανωτέρω, και αυτή τη φορά περισσεύουν 13. Πάνω στην συμπλοκή όμως, για το ποιος θα πάρει τις 13 τελευταίες χρυσές λίρες, σκοτώνεται άλλος ένας.
Οι εναπομείναντες 15 πειρατές μοιράζουν εκ νέου τις λίρες, όπως ανωτέρω,  χωρίς να περισσέψει αυτή τη φορά καμία χρυσή λίρα. Πόσες ήταν αρχικά οι χρυσές λίρες? (Κατ.34/Νο.641)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Χ ο ζητούμενος αριθμός, συνεπώς X=17k+5, Χ=16m+13, Χ=15n, (k μεγαλύτερο του μηδενός, m μεγαλύτερο του μηδενός, n μεγαλύτερο του μηδενός) Άρα ισχύουν οι εξισώσεις: 17k+5=16m+13, 17k+5=15n, η επίλυση των οποίων δίνει: k=40*(6c+5), m=255c+212, n=272c+227, (c μεγαλύτερο ή ίσον του μηδενός) Οι τιμές των k,m,n είναι οι ελάχιστες δυνατές με c=0 άρα ελάχιστα k=200, m=212 kai n=227 Χ=17*200+5=3.405, Χ=16*212+13=3.405, Χ=15*227=3.405 Αλλά επειδή το πρόβλημα δεν ζητάει τον ελάχιστο αριθμό λιρών λύσεις στο πρόβλη-μα έχουμε και για c=1,2,3,...,n π.χ για c=1 =>k=440, m=255+212=467, n=272+227=499 => X(c=1)=440*17+5=7.485, k.o.k.... Ή  Έστω Χ ο αριθμός ο αριθμός των χρυσών λιρών, τότε: X=5mod17, X=13mod16, X=0mod15, 17*16*15=4.080, 17: 16*15=240=2mod17, 240*11=2.640=5mod17, 16: 17*15=255=15mod16, 255*3=765=13 mod16, 15: 17*16=272=2mod15, 272*15=4.080=0mod15, 2.640+765+4.080-4.080=3.405, 3.405-200*17=5, 3.405-212*16=13, 3.405-227*15=0, Οι λίρες αρχικά και τελικά ήταν 3.405 και μοράσθηκαν στους 15 εναπομείναντες πειρατές, και πήραν ο καθένας από 3405/15=227 λίρες