Παρασκευή, 27 Σεπτεμβρίου 2013

Οι Πειρατές

Δεκαεπτά πειρατές μετά από ένα ρεσάλτο που κάνανε σ’ ένα εμπορικό πλοίο αποκόμισαν, μεταξύ άλλων, κι’ ένα σεντούκι με άγνωστο αριθμό χρυσών λιρών, τις οποίες μοίρασαν ως εξής:
Ο πρώτος θα πάρει μια, ο δεύτερο μία κ.ο.κ., έως τον δέκατο έβδομο και πάλι από την αρχή. Με τον τρόπο αυτό μοιράζονται οι λίρες και περισσεύουν 5. Πάνω στη συμπλοκή όμως, για το ποιος θα πάρει τις 5 τελευταίες χρυσές λίρες, σκοτώνεται ένας.
Οι εναπομείναντες 16 πειρατές κάνουν εκ νέου τη μοιρασιά, όπως ανωτέρω, και αυτή τη φορά περισσεύουν 13. Πάνω στην συμπλοκή όμως, για το ποιος θα πάρει τις 13 τελευταίες χρυσές λίρες, σκοτώνεται άλλος ένας.
Οι εναπομείναντες 15 πειρατές μοιράζουν εκ νέου τις λίρες, όπως ανωτέρω,  χωρίς να περισσέψει αυτή τη φορά καμία χρυσή λίρα. Πόσες ήταν αρχικά οι χρυσές λίρες? (Κατ.34/Νο.641)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω Χ ο ζητούμενος αριθμός, συνεπώς X=17k+5, Χ=16m+13, Χ=15n, (k μεγαλύτερο του μηδενός, m μεγαλύτερο του μηδενός, n μεγαλύτερο του μηδενός) Άρα ισχύουν οι εξισώσεις: 17k+5=16m+13, 17k+5=15n, η επίλυση των οποίων δίνει: k=40*(6c+5), m=255c+212, n=272c+227, (c μεγαλύτερο ή ίσον του μηδενός) Οι τιμές των k,m,n είναι οι ελάχιστες δυνατές με c=0 άρα ελάχιστα k=200, m=212 kai n=227 Χ=17*200+5=3.405, Χ=16*212+13=3.405, Χ=15*227=3.405 Αλλά επειδή το πρόβλημα δεν ζητάει τον ελάχιστο αριθμό λιρών λύσεις στο πρόβλη-μα έχουμε και για c=1,2,3,...,n π.χ για c=1 =>k=440, m=255+212=467, n=272+227=499 => X(c=1)=440*17+5=7.485, k.o.k.... Ή  Έστω Χ ο αριθμός ο αριθμός των χρυσών λιρών, τότε: X=5mod17, X=13mod16, X=0mod15, 17*16*15=4.080, 17: 16*15=240=2mod17, 240*11=2.640=5mod17, 16: 17*15=255=15mod16, 255*3=765=13 mod16, 15: 17*16=272=2mod15, 272*15=4.080=0mod15, 2.640+765+4.080-4.080=3.405, 3.405-200*17=5, 3.405-212*16=13, 3.405-227*15=0, Οι λίρες αρχικά και τελικά ήταν 3.405 και μοράσθηκαν στους 15 εναπομείναντες πειρατές, και πήραν ο καθένας από 3405/15=227 λίρες

3 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Έστω Χ ο αριθμός ο αριθμός των χρυσών λιρών, τότε:
X=5mod17
X=13mod16
X=0mod15

17*16*15=4080

17: 16*15=240=2mod17, 240*11=2640=5mod17
16: 17*15=255=15mod16, 255*3=765=13 mod16
15: 17*16=272=2mod15, 272*15=4080=0mod15

2640+765+4080-4080=3405

3405-200*17=5
3405-212*16=13
3405-227*15=0

Οι λίρες αρχικά και τελικά ήταν 3405 και μοράσθηκαν στους 15 εναπομείναντες
πειρατές, και πήραν ο καθένας από 3405/15=227 λίρες

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Επίσης
Έστω Χ ο ζητούμενος αριθμός, συνεπώς
X=17k+5, Χ=16m+13, Χ=15n, (k>0, m>0, n>0)
άρα ισχύουν οι εξισώσεις 17k+5=16m+13, 17k+5=15n
η επίλυση των οποίων δίνει:
k=40*(6c+5), m=255c+212, n=272c+227, (c>=0)
Οι τιμές των k,m,n είναι οι ελάχιστες δυνατές με c=0
άρα ελάχιστα k=200, m=212 kai n=227, άρα
Χ=17*200+5=3405(=16*212+13=3405, =15*227=3405),
αλλά επειδή το πρόβλημα δεν ζητάει τον ελάχιστο αριθμό λιρών
λύσεις στο πρόβλημα έχουμε και για c=1,2,3,...
π.χ για c=1 =>k=440, m=255+212=467, n=272+227=499 =>
X(c=1)=440*17+5=7485, k.o.k....

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Συγχαρητήρια! Και οι δύο απαντήσεις σας είναι σωστές.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes