Σάββατο, 14 Σεπτεμβρίου 2013

Ο Τριψήφιος Αριθμός

Ένας παράξενος τριψήφιος αριθμός αποτελείται από τρία διαφορετικά ψηφία κι’ έχει τις εξής ιδιότητες:
Το πρώτο ψηφίο συν τον αριθμό που σχηματίζεται από το δεύτερο και το τρίτο ψηφίο, σχηματίζει ένα τέλειο τετράγωνο.
Το πρώτο ψηφίο πολλαπλασιαζόμενο με τον αριθμό που σχηματίζεται από το δεύτερο και
το τρίτο ψηφίο, σχηματίζει ένα τέλειο τετράγωνο.
Το άθροισμα των τριών ψηφίων του σχηματίζει ένα τέλειο τετράγωνο.
Ποιος είναι αυτός ο τριψήφιος αριθμός; (Κατ.34/Νο.639)

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω xyz ο αριθμός, άρα: x+(y+z)=a^2, x+y+z=x+10y+z=b^2 και x*(yz)=x*(10y+z)=c^2. Mέγιστο δυνατό άθροισμα 7+8+9=24 και ελάχιστο δυνατό άθροισμα 0+1+2=3, άρα x+y+z=ή 4 ή 9 ή 16 Το 4 δίνει τους αριθμούς 130 ή 310 αποκλείονται διότι 1+30=31 και 3+10=13 μη τέλεια τετράγωνα μένει x+y+z = ή 16 ή 9 Έστω x+y+z=16 => x+10y+z <=97, άρα x+10y+z =(81,64,49,36,25) Τα σύστημα: x+y+z=16 και x+10y+z=81 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται x+y+z=16 και x+10y+z=64 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται x+y+z=16 και x+10y+z=49 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται x+y+z=16 και x+10y+z=36 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται x+y+z=16 και x+10y+z=25 δίνει την λύση x+z=15 και y=1, άρα ο αριθμός γίνεται x1z και ο αριθμός μπορεί να είναι:916,817,718,619 και η τρίτη σχέση γίνεται: 8*17=136, 7*18=126, μη τέλεια τετράγωνα και απορρίπτονται 9*16=144=12^2 O.K., άρα 916 ο ζητούμενος αριθμός (Ε. Αλεξίου) Λύση του Cardani mediolanensis. Ψάχνουμε λύσεις x,y,z ακέραιοι από 0 ώς 9, για το σύστημα: x+10y+z=ν^2 x*(10y+z)=k^2 x+y+z=μ^2 Από την τρίτη εξίσωση (X+y+z=μ^2)συμπερένουμε ότι το άθροισμα των ψηφίων είναι είτε 9 είτε 16, αφού αυτά είναι τα 2 τετράγωνα μεταξύ του ελάχιστου 6=1+2+3 και του μέγιστου 24=9+8+7 Για x+y+z=9 εύκολα διαπιστώουμε ότι δεν υπάρχει τριπλέτα που να ικανοποιεί τις άλλες δύο εξισώσεις. Άρα x+y+z=16 ,και δοκιμάζοντας τις δυνατές τριάδες στις 2 πρώτες βρίσκουμε τη λύση: x=9, y=1,z=6 9+1+6=16 9*16=144 9+16=25

11 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

O 916
α) 9+16=25=25^2
β) 9*16=144=12^2
γ) 9+1+6=16=4^2

Papaveri είπε...

@ΕΑλεξίου
Πως φθάσατε σ' αυτό το συμπέρασμα; Θέλω ανάλυση. Η απάντηση είναι σωστή.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Χωρίς ανάλυση δεν περνάω το μάθημα? !:-) (αστειεύομαι βέβαια!)

Έστω xyz ο αριθμός, άρα:
x+y+z=a^2
x+yz=x+10y+z=b^2 και
x*yz=x*(10y+x)=c^2
μέγιστο δυνατό άθροισμα 7+8+9=24 και ελάχιστο δυνατό άθροισμα 0+1+2=3, άρα x+y+z=ή 4 ή 9 ή 16
Το 4 δίνει τους αριθμούς 130 ή 310
αποκλείονται διότι 1+30=31 και 3+10=13 μη τέλεια τετράγωνα μένει
x+y+x = ή 16 ή 9
Έστω x+y+x=16 => x+10y+z <=97, άρα x+10y+z =(81,64,49,36,25)
Τα σύστημα:
x+y+z=16 και x+10y+z=81 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται
x+y+z=16 και x+10y+z=64 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται
x+y+z=16 και x+10y+z=49 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται
x+y+z=16 και x+10y+z=36 δεν δίνει ακέραιες λύσεις και απορρίπτεται
x+y+z=16 και x+10y+z=25 δίνει την λύση x+z=15 και y=1, άρα ο αριθμός
γίνεται x1z και ο αριθμός μπορεί να είναι:916,817,718,619
και η τρίτη σχέση γίνεται:
8*17=136, 7*18=126, μη τέλεια τετράγωνα και απορρίπτονται
9*16=144=12^2 O.K.,
άρα 916 ο ζητούμενος αριθμός.

Cardani mediolanensis είπε...

Ψάχνουμε λύσεις x,y,z ακέραιοι από 0 ώς 9, για το σύστημα:
x+10y+z=ν^2
x*(10y+z)=k^2
x+y+z=μ^2
Από την τρίτη εξίσωση (X+y+z=μ^2)συμπερένουμε ότι το άθροισμα των ψηφίων είναι είτε 9 είτε 16, αφού αυτά είναι τα 2 τετράγωνα μεταξύ του ελάχιστου
6=1+2+3 και του μέγιστου 24=9+8+7
Για x+y+z=9 εύκολα διαπιστώουμε ότι δεν υπάρχει τριπλέτα που να ικανοποιεί τις άλλες δύο εξισώσεις.
Άρα x+y+z=16 ,και δοκιμάζοντας τις δυνατές τριάδες στις 2 πρώτες βρίσκουμε τη λύση: x=9, y=1,z=6
9+1+6=16
9*16=144
9+16=25
O.K.

Papaveri είπε...

@ΕΑλεξίου
Η προτροπή μου σχετικά με την ανάλυση που ζήτησα δεν έχει να κάνει με το ότι δεν μπορούσατε να δώσετε μια εκτεταμένη ανάλυση, για τ' οποίο δεν αμφέβαλα καθόλου, άλλωστε είναι γνωστό τοις πάσι ότιείστε ένας εξαιρετικός λύτης. Και πάλι σας συγχαίρω για την ωραία ανάλυση που γράψατε, την οποία βέβαια θ' αναρτήσω.

Papaveri είπε...

@Cardani mediolanensis
Gratulor! Est rectam responsum tuum.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

@ Papaveri
Σας ευχαριστώ για αυτά που γράψατε και έχετε δίκαιο ότι πρέπει να υπάρχει ανάλυση, εξάλλου είναι και η δική μου άποψη. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, έλυσα το πρόβλημα στο πρόχειρο έστειλα το αποτέλεσμα και πήγα μία βολτίτσα σκοπεύοντας με την επιστροφή να στείλω και την ανάλυση ευπαρουσίαστη και ευκολοδιάβαστη, όπως και έκανα όταν επέστρεψα και παράλληλα έκανα και λίγο, μάλλον μπλάκ εκ των υστέρων ειδωμένο, χιούμορ με το "θέλω" εν είδει διαλόγου πίγκ-πόγκ, όπως σίγουρα αντιληφθήκατε.
Όλα καλά! και χαίρομαι και πολύ μου
αρέσει που σταδιακά και σταθερά ανεβάζετε τον πήχυ και στα προβλήματα πέρα από τα ρέμπους που ήταν και παραμένουν υψηλού ενδιαφέροντος.

Papaveri είπε...

@ΕΑλεξίου
Κι' εγώ με τη σειρά μου να σας ευχαριστήσω για τα επαινετικά σας λόγια, τα οποία μου δίνουν κουράγιο να συνεχίσω την ψυχαγωγική και όχι μόνο ιστοσελίδα.

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, παραθετω μια λυση με πυθαγορειες τριαδες.
χ+ψ+ω=κ^2 (Α)
χ+10ψ+ω=λ^2 (Β)
χ(10ψ+ω)=μ^2 (Γ)
Προφανως: (κ^2)Ε{4,9,16} => κΕ{2,3,4} (1)
Απο τις (Α) και (Β) αφαιρωντας κατα μελη εχουμε:
9ψ=λ^2-κ^2 => 9ψ+κ^2=λ^2 => (3sqrtψ)^2+κ^2=λ^2 (2)
Η τριαδα ( 3sqrtψ,κ,λ) ειναι πυθαγορεια αν: ψΕ{1,4,9} (3)
Απο τις (1) και (3) ευκολα προκυπτει οτι μονο το ζευγος (ψ,κ)=(1,4) ικανοποιει την (2). Πραγματι:
(3*sqrt1)^2+4^2=3^2+4^2=5^2
αρα: ψ=1, κ=4, λ=5
Απο την (Β) εχουμε:
χ+10ψ+ω=λ^2 => 10ψ+ω=λ^2 -χ=5^2-χ
οποτε η (Γ) γινεται:
χ(5^2 -χ)=μ^2 => χ5^2-χ^2=μ^2 => χ5^2=μ^2+χ^2 => (5sqrtχ)^2= μ^2+χ^2 (4)
Ομοιως, η τριαδα ( 5sqrtχ,μ,χ) ειναι πυθαγορεια αν: χΕ{1,4,9} αλλά: χ=1=ψ απορρίπτεται αφου το χ ειναι διαφορον του ψ, αρα: χΕ{4,9}.
Αν: χ=4 τοτε: (5*2)^2=μ^2+4^2 => μ^2=100-16=84 => μ= 2sqrt(21) απορριπτεται.
Αρα: χ=9 οποτε: (5*3)^2=μ^2+9^2 => μ^2=(5^2)*(3^2)-(3^4)=(3^2)*(5^2-3^2) =>
=> μ^2=9*16 => μ=3*4=12
Ωστε: χ=9, ψ=1 και απο την (Α) προκυπτει πως: ω=16-9-1=6.
Ο ζητουμενος αριθμος ειναι ο 916.



Papaveri είπε...

@ Voulagx
Χριστός Ανέστη!!
Ωραία λύση. Μπράβο σου!!

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, σε παρακαλω να διαγραψεις το προηγουμενο σχολιο μου γιατι εχω ενα σοβαρο λαθος στην περιπτωση α) ω=0. Η σωστη λυση ειναι η παρακατω.

Δεν εξετασα τις περιπτωσεις: α) ω=0 και β) ψ=0. Προφανως ο χ ειναι διαφορος του μηδενος.

α) ω=0.
Τοτε οι εξισωσεις (Α), (Β), (Γ) γινονται:
χ+ψ=κ^2 (Α)
χ+10ψ=λ^2 (Β)
χ*(10ψ)=μ^2 (Γ)
Απο τις δυο πρωτες, αφαιρωντας κατα μελη, εχουμε:
9ψ=λ^2-κ^2 => 9ψ+κ^2=λ^2=(3sqrtψ)^2+κ^2=λ^2 οπου: κΕ{2,3,4} (2)
Η τριαδα ( 3sqrtψ,κ,λ) ειναι πυθαγορεια αν: ψΕ{1,4,9} (3)
Απο τις (1) και (3) ευκολα προκυπτει οτι μονο το ζευγος (ψ,κ)=(1,4) ικανοποιει την (2). Πραγματι:
(3*sqrt1)^2+4^2=3^2+4^2=5^2
αρα: ψ=1, κ=4, λ=5
Αλλα τοτε η (Β) γινεται:
χ+10*1=5^2 => χ+10=25 => χ=15 ατοπον, αφου 9>χ. Αρα: ω≠0.

β) ψ=0
Τοτε οι εξισωσεις (Α), (Β), (Γ) μετατρεπονται στις:
χ+ω=κ^2=λ^2 (Α)
χω=μ^2 (Β) οπου: κΕ{2,3,4}
που σημαινει οτι οι αριθμοι χ,ω ειναι ριζες της δευτεροβαθμιας εξισωσης:
χ^2-(κ^2)*χ+μ^2=0 με διακρινουσα: Δ=κ^4-4*μ^2 και ριζες:
χ1=(κ^2+sqrt(Δ))/2 και : χ2=(κ^2-sqrt(Δ))/2
Πρεπει: Δ=κ^4-4*μ^2 > 0 => (κ^4)/4>μ^2 (4)
Επισης: 9>χ1=(κ^2+sqrt(Δ))/2 απ’ οπου μετα τις πραξεις προκυπτει:
μ^2>9*(κ^2-9) και σε συνδυασμο με την (4) εχουμε:
(κ^4)/4>μ^2 >9*(κ^2-9) (5)

1) κ=2 τοτε απο την (5) εχουμε:
2^4/4>μ^2>9*(2^2-9) => 4>μ^2>-45 => 2>μ αρα: μ=1 οποτε:
Δ=2^4-4*1^2=16-4=12 => sqrt(Δ)=2*sqrt(3) αρρητος , αρα αποριπτεται.

2) κ=3 τοτε απο την (5) εχουμε:
(3^4)/4>μ^2 >9*(3^2-9) => 81/4>μ^2>0 => 9/2>μ αρα: μΕ{1,2,3,4} οποτε:
μ=1----> sqrt(Δ)=sqrt( κ^4-4*μ^2)=sqrt( 3^4-4*1^2)=sqrt(77) αρρητος, απορριπτεται.
μ=2----> sqrt(Δ)=sqrt( κ^4-4*μ^2)=sqrt( 3^4-4*2^2)=sqrt(65) αρρητος, απορριπτεται.
μ=3----> sqrt(Δ)=sqrt( κ^4-4*μ^2)=sqrt( 3^4-4*3^2)=sqrt(45) αρρητος, απορριπτεται.
μ=4----> sqrt(Δ)=sqrt( κ^4-4*μ^2)=sqrt( 3^4-4*4^2)=sqrt(17) αρρητος, απορριπτεται.

3) κ=4 τοτε απο την (5) εχουμε:
(4^4)/4>μ^2 >9*(4^2-9) => 64>μ^2>63 => 8>μ>7,93 ατοπον , ο μ ειναι ακεραιος.

Συνεπως: ψ≠0.
Αρα τα ψηφια ψ και ω ειναι διαφορα του μηδενος.
Voulagx

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes