Δευτέρα, 22 Νοεμβρίου 2010

Κολλημένος με τα Ζάρια


Ο κος. Τζογαδόρος είναι κολλημένος με τα ζάρια. Παίζει χρόνια τώρα ένα
παιχνίδι με την παρέα του - ρίχνει ένα ζάρι τέσσερις φορές και αν έρθει 
έστω και μια φορά εξάρι κερδίζει, αλλιώς χάνει. Εδώ και δύο χρόνια όμως 
έχουν αρχίσει μια παραλλαγή - ρίχνει δύο ζάρια προσπαθώντας να φέρει
εξάρες… Θεώρησαν όλοι λογικό ότι αφού το να φέρεις εξάρες είναι 1 στις 
36 ενώ το να φέρεις έξι 1 στις 6 (έξι φορές λιγότερο) για να εξισορροπήσει 
το στοίχημα αντί να ρίχνει τέσσερις φορές το ζάρι θα ρίχνει τα ζάρια 
4*6 = 24 φορές. Έλα, όμως, που ο Τζογαδόρος παρατήρησε πως ενώ παλιά
έβγαινε γενικά λίγο κερδισμένος από τότε που άρχισαν την παραλλαγή 
βγαίνει λίγο χαμένος…. Γιατί συμβαίνει αυτό;
Ιστορικό Σημείωμα:
Ο γρίφος βασίζεται σε πραγματικά περιστατικά που έγιναν γύρω στα 
1700. Ο παθών λεγόταν Chevalier de Mere , εδώ, εδώ, και ήταν γνωστός 
του Blaise Pascal, στον οποίο και είχε γνωστοποιήσει το πρόβλημα. Αυτός
το έλυσε και ξεκίνησε να αλληλογραφεί πάνω σε αυτό και άλλα παρόμοια 
προβλήματα με το Pierre de Fermat, βάζοντας τις βάσεις για τη θεωρία 
των πιθανοτήτων… (Κατ.33/Πρβ. Νο.12)

2 σχόλια:

ΧΑΡΗΣ είπε...

Τα ζητήματα των πιθανοτήτων καμιά φορά είναι πιο περίπλοκα απ' όσο φαίνονται αρχικά.

Για ένα ζάρι, η πιθανότητα για εξάρι στην πρώτη ζαριά είναι 1/6, όμως στη δεύτερη δεν είναι πάλι 1/6, αλλά είναι 5/6 * 1/6. Ομοίως στις επόμενες ζαριές. Οι συνεχόμενες πιθανότητες σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο 5/6 και η πιθανότητα μετά από 4 ζαριές είναι το άθροισμα των 4 πρώτων όρων της. Χρησιμοποιώντας το σχετικό τύπο και κάνοντας τις πράξεις, προκύπτει πιθανότητα περίπου 51,5%, άρα είναι πολύ λογικό ο Τζογαδόρος να βγαίνει λίγο κερδισμένος.

Για δυο ζάρια, η πιθανότητα για εξάρες στην πρώτη ζαριά είναι 1/36, όμως στη δεύτερη δεν είναι πάλι 1/36, αλλά είναι 35/36 * 1/36. Ομοίως στις επόμενες ζαριές. Οι συνεχόμενες πιθανότητες σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο 35/36 και η πιθανότητα μετά από 24 ζαριές είναι το άθροισμα των 24 πρώτων όρων της. Χρησιμοποιώντας και πάλι το σχετικό τύπο και κάνοντας τις πράξεις, προκύπτει πιθανότητα περίπου 49%, άρα είναι πολύ λογικό ο Τζογαδόρος να βγαίνει λίγο χαμένος.

Papaveri είπε...

@ΧΑΡΗΣ
Σωστή και τεκμηριωμένη η απάντησή σου.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes