Δευτέρα, 29 Φεβρουαρίου 2016

Η Μικρότερη Τιμή

Έστω ότι Α^4=75.600*Β. Εάν οι αριθμοί «Α» και «Β» είναι θετικοί ακέριοι, να βρείτε τη μικρότερη τιμή του «Β». (Κατ.34)

Λύση

Λύση του Νίκου Λέντζου.
Η μικρότερη τιμή του «Β» είναι 25.725. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Α^4=75.600*Β (1)
Αναλύω τον αριθμό 75.600 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων: 75.600= 2^4 * 3^3 * 5^2 * 7 και έχω: Α^4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 * 7 * Β Επειδή το πρώτο μέλος είναι τέταρτη δύναμη ακεραίου οφείλει και το δεύτερο μέλος να είναι τέταρτη δύναμη ακεραίου, δηλ. Β= 3* 5^2 * 7^3 * κ^4, όπου κ θετικός ακέραιος. Αλλά ο Β πρέπει να είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος οπότε κ=1. Έτσι Α^4 = (2^4 * 3^3 * 5^2 * 7) * (3* 5^2 * 7^3) ή Α^4 = (2 * 3 * 5 * 7)^4 οπότε Α = 2 * 3 * 5 * 7=210 και Β = 3* 5^2 * 7^3 = 25.715
(Επαλήθευση:
210^4=1.944.810.000
75.600*25.715=1.944.810.000)
Λύση του Ευθύμη Αλεξίου.
75.600=2^4*3^3*5^2*7^1, οπότε Β=3^(4-3)*5^(4-2)*7^(4-1)=3*5^2*7^3=25.725 και Α^4=75600*25725=210^4 -> A=210=2*3*5*7

7 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

75600=2^4*3^3*5^2*7, οπότε Β=3*5^2*7^3=37044

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Ευθύμη δες πάλι το αποτέλεσμα του "Β". Δεν είναι σωστό.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Κάρλο δεν θυμάμαι τι έχω γράψει. Μπορείς να μου στείλεις αυτό που έχω γράψει με mail;

Nikos Lentzos είπε...

Α^4=75.600*Β
Αναλύω τον αριθμό 75.600 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
75.600= 2^4 * 3^3 * 5^2 * 7 και έχω:
Α^4 = 2^4 * 3^3 * 5^2 * 7 * Β

Επειδή το πρώτο μέλος είναι τετάρτη δύναμη ακεραίου οφείλει και το δεύτερο μέλος να είναι τετάρτη δύναμη ακεραίου, δηλ. Β= 3* 5^2 * 7^3 * κ^4, όπου κ θετικός ακέραιος.
Αλλά ο Β πρέπει να είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος οπότε κ=1.

Έτσι Α^4 = (2^4 * 3^3 * 5^2 * 7) * (3* 5^2 * 7^3) ή
Α^4 = (2 * 3 * 5 * 7)^4
οπότε Α = 2 * 3 * 5 * 7=210 και Β = 3* 5^2 * 7^3 = 25.715


(Επαλήθευση : 210^4=1.944.810.000
75.600*25.715=1.944.810.000)

Ανώνυμος είπε...

75.600=2^4*3^3*5^2*7 άρα για να γίνει τέταρτη δύναμη αριθμού θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 3*5^2*7^3=25.725=Β και το Α θα είναι προφανώς η τέταρτη ρίζα του αριθμού, δηλ. Α=2*3*5*7=210

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Που στο καλό μου βγήκε το Β=3*5^2*7^3=37044. Μάλλον ταυτόχρονα θα έλυνα και άλλο πρόβλημα σε άλλο site!
75600=2^4*3^3*5^2*7^1, οπότε Β=3^(4-3)*5^(4-2)*7^(4-1)=3*5^2*7^3=25725
και Α^4=75600*25725=210^4 -> A=210=2*3*5*7

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια σε όλους!! Οι απαντήσεις σας είναι σωστές. Μπράβο σας!!

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes