Τρίτη, 9 Φεβρουαρίου 2016

Ο Αριθμός

 
Να βρείτε τον εξαψήφιο αριθμό (Α = 3xy97z), εάν γνωρίζετε ότι ο αριθμός «Α» διαιρείται με τον αριθμό 2.475. (Κατ.34)
Πηγή:ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2014 (Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ)

Λύση

Λύση του Νίκου Λέντζου (Μαθηματικού)
Αν Α είναι ο αριθμός που ζητείται τότε:
301950 = 122*2475 = < Α < = 161*2475 = 398475
Βάζοντας όλα τα πολ/σια του 2.475 από το 122 έως 161 και υπολογίζοντάς τα σε ένα exel έχω:
2,475 * 122 = 301,950
2,475 * 123 = 304,425
2,475 * 124 = 306,900
2,475 * 125 = 309,375
2,475 * 126 = 311,850
2,475 * 127 = 314,325
2,475 * 128 = 316,800
2,475 * 129 = 319,275
2,475 * 130 = 321,750
2,475 * 131 = 324,225
2,475 * 132 = 326,700
2,475 * 133 = 329,175
2,475 * 134 = 331,650
2,475 * 135 = 334,125
2,475 * 136 = 336,600
2,475 * 137 = 339,075
2,475 * 138 = 341,550
2,475 * 139 = 344,025
2,475 * 140 = 346,500
2,475 * 141 = 348,975
2,475 * 142 = 351,450
2,475 * 143 = 353,925
2,475 * 144 = 356,400
2,475 * 145 = 358,875
2,475 * 146 = 361,350
2,475 * 147 = 363,825
2,475 * 148 = 366,300
2,475 * 149 = 368,775
2,475 * 150 = 371,250
2,475 * 151 = 373,725
2,475 * 152 = 376,200
2,475 * 153 = 378,675
2,475 * 154 = 381,150
2,475 * 155 = 383,625
2,475 * 156 = 386,100
2,475 * 157 = 388,575
2,475 * 158 = 391,050
2,475 * 159 = 393,525
2,475 * 160 = 396,000
2,475 * 161 = 398,475
που με έναν έλεγχο βλέπω ότι το μόνο πολ/σιο που πληρεί τις προϋποθέσεις είναι:
2,475 * 141 = 348,975
που είναι και ο ζητούμενος αριθμός.

11 σχόλια:

Nikos Lentzos είπε...


2.475*141=34.8975

Papaveri είπε...

@Νίκος Λέντζος
Θα ήθελα μια ανάλυση του προβλήματος, για το πως βρήκες το αποτέλεσμα.

Nikos Lentzos είπε...

Αν Α είναι ο αριθμός που ζητείται τότε:
301950 = 122*2475 = < Α < = 161*2475 = 398475

Βάζοντας όλα τα πολ/σια του 2.475 από το 122
έως 161 και υπολογίζοντάς τα σε ένα exel έχω:


2,475 * 122 = 301,950
2,475 * 123 = 304,425
2,475 * 124 = 306,900
2,475 * 125 = 309,375
2,475 * 126 = 311,850
2,475 * 127 = 314,325
2,475 * 128 = 316,800
2,475 * 129 = 319,275
2,475 * 130 = 321,750
2,475 * 131 = 324,225
2,475 * 132 = 326,700
2,475 * 133 = 329,175
2,475 * 134 = 331,650
2,475 * 135 = 334,125
2,475 * 136 = 336,600
2,475 * 137 = 339,075
2,475 * 138 = 341,550
2,475 * 139 = 344,025
2,475 * 140 = 346,500
2,475 * 141 = 348,975
2,475 * 142 = 351,450
2,475 * 143 = 353,925
2,475 * 144 = 356,400
2,475 * 145 = 358,875
2,475 * 146 = 361,350
2,475 * 147 = 363,825
2,475 * 148 = 366,300
2,475 * 149 = 368,775
2,475 * 150 = 371,250
2,475 * 151 = 373,725
2,475 * 152 = 376,200
2,475 * 153 = 378,675
2,475 * 154 = 381,150
2,475 * 155 = 383,625
2,475 * 156 = 386,100
2,475 * 157 = 388,575
2,475 * 158 = 391,050
2,475 * 159 = 393,525
2,475 * 160 = 396,000
2,475 * 161 = 398,475

που με έναν έλεγχο βλέπω ότι το μόνο πολ/σιο που πληροί τις
προυποθέσεις είναι:
2,475 * 141 = 348,975
που είναι και ο ζητούμενος αριθμός.



Nikos Lentzos είπε...

@Papaveri
Αγαπητέ Carlo με τη λύση που παραθέτεις αν και καταλήγεις σε σωστό αποτέλεσμα
δεν παύει να είναι λάθος.

Τα λάθη που υπάρχουν άλλα είναι επουσιώδη και άλλα πολύ ουσιαστικά.

Γράφεις:

1) Μετατρέπουμε τον αριθμό 2.475 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, κι’ έχουμε:
2.475=9*11*25

Λάθος. Οι παράγοντες 9 και 25 δεν είναι πρώτοι.
Το σωστό θα ήταν να έγραφες 2.475=3*3*5*5*11 (αυτό δεν επηρεάζει την λύση, αλλά οι όροι που χρησιμοποιούμε πρέπει να είναι σωστοί γιατί δίνουμε λάθος πληροφορίες σε άτομα που μπορεί να μην είναι καλοί γνώστες των μαθηματικών όρων).

Γράφεις:
2) Ο αριθμός «Α» είναι πολλαπλάσιο του 25. Άρα z=5

Λάθος. Το σωστό θα ήταν να έγραφες ο αριθμός Α λήγει σε 00 ή 25 ή 50 ή 75
Άρα z=0 ή z=5


Γράφεις:
3)Ο αριθμός «Α» είναι πολλαπλάσιο του, συνεπώς 3-x+y-9+7-5=y-x-4=Πολ/σιο του 11.
Επειδή τα «x» και «y» είναι ψηφία, η μόνη περίπτωση είναι:
y-x-4=0 ---> y=x+4 (3)

Αυτό μάλλον είναι αυθαίρετο.
Κατ' αρχήν εννοείς ότι Ο αριθμός «Α» είναι πολλαπλάσιο του 11
Στη σχέση 3-x+y-9+7-5=y-x-4=Πολ/σιο του 11 αθροίζεις τις διαφορές των διαδοχικών ψηφίων δηλ. (3-x)+(y-9)+(7-5) και γράφεις ότι οφείλει να είναι πολ/σιο του 11 και αμέσως μετά ότι οφείλει να είναι μηδέν. Βέβαια το μηδέν είναι πολ/σιο του έντεκα αλλά είναι μόνο μια τιμή στα άπειρα το πλήθος πολ/σια.
Τέτοια ιδιότητα διαιρετότητας για το 11 εγώ δεν γνωρίζω.

Μπορώ όμως να δώσω από ένα αντιπαράδειγμα για ένα 4/ψήφιο και ένα 6/ψήφιο πολ/σιο του 11 που το άθροισμα των διαφορών δεν είναι μηδέν

Για 4/ψήφιο: 119*11=1309 [(1-3)+(0-9)=-11]

Για 6/ψήφιο: 29025*11=319275 [(3-1)+(9-2)+(7-5)=11]

4) Δεν εξετάζεις καθόλου την περίπτωση Ζ=0.

Φιλικά
Νίκος


Papaveri είπε...

@Νίκος Λέντζος
Αγαπητέ Νίκο, τη λύση που ανάρτησα την έδωσε η ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ και όχι εγώ.

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, δες στο παρακατω λινκ ποτε ενας αριθμος διαιρειται με το 11.
http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?t=2365
Η λυση που ειχες αναρτησει αρχικα ηταν σωστη.
Voulagx

Ανώνυμος είπε...

Δες και το κεφαλαιο "Διαιρετοτητα" του βιβλιου των Μαθηματικων της Α' Γυμνασιου:
http://blogs.sch.gr/kongeorgiou/files/2012/09/%CE%94%CE%B9%CE%B1%CE%B9%CF%81%CE%B5%CF%84%CE%BF%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1.pdf

Voulagx

Ανώνυμος είπε...

http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf
Καρλο, στο παραπανω λινκ υπαρχουν οι αποδειξεις των Κριτηριων Διαιρετοτητας,
δες σελιδα 10.
Voulagx

Papaveri είπε...

@Voulagx
Σ' ευχαριστώ για την βοήθεια.

Ανώνυμος είπε...

Καρλο, επιτρεψε μου να συμμαζεψω την λυση, συμφωνα με τους κανονες διαιρετοτητας.

Για τον αριθμο 2475 πρατηρουμε οτι:
α)75=3*25=πολλ.25 αρα ο 25/2475 (κανονας διαιρετοτητας δια του 25)
β)5-7+4-2=0 αρα ο 11/2475 (κανονας διαιρετοτητας δια του 11)
γ)2+4+7+5=18=2*9=πολλ.9 αρα ο 9/2475 (κανονας διαιρετοτητας δια του 9)
Συνεπως οι αριθμοι 9,11,25 διαιρουν τον ζητουμενο Α=3xy97z, οποτε:
α) 25/Α => 25/7*10+z => 7*10+z= k*25 => z=k*25-70 (1)
Πρεπει: 9>κ*25-70> ή 79>κ*25>70 ή 79/25>κ>70/25 ή 3,16>κ>2,8 αρα: κ=3
και απο την (1) εχουμε: z=3*25-70=5
β) 11/Α => 5-7+9-y+x-3=11*λ => 4+x-y=11*λ => x-y=11*λ-4 (2)
Πρεπει: 9>11λ-4>-9 =>13/11>λ>-5/11 => 1,18>λ>-0,18 αρα: λΕ{0,1} συνεπως:
x-y=11-4=7 (3) ή x-y=-4 <=> y-x=4 (4)
γ) 9/Α => 3+x+y+9+7+5=9*μ => x+y+24=9*μ => x+y=9*μ-24 (5)
Πρεπει: 18>x+y=9*μ-24 >0 => 42>9μ>24 => 42/9>μ>24/9 => 4,66>μ>2,66
αρα: μΕ{3,4} οποτε απο την (5) εχουμε:
x+y=9*3-24=3 (6) ή
x+y=9*4-24=12 (7)
Εξεταζουμε ολους του δυνατους συνδυασμους των εξισωσεων (3),(4) με τις (6),(7).
(3)+(6): x-y=7 και x+y=3
προσθετοντας κατα μελη προκυπτει: 2x=11=> x=11/2 ατοπον, μη αποδεκτη λυση
(3)+(7): x-y=7 και x+y=12
προσθετοντας κατα μελη προκυπτει: 2x=19 => x=19/2 ατοπον, μη αποδεκτη λυση
(4)+(6): y-x=4 και x+y=3
προσθετοντας κατα μελη προκυπτει: 2y=7 => y=7/2 ατοπον, μη αποδεκτη λυση
(4)+(7): y-x=4 και x+y=12
προσθετοντας κατα μελη προκυπτει: 2y=16 => y=8 αποδεκτη λυση, οποτε:
x+y=12 => x=12-8=4.
Αρα ο ζητουμενος αριθμος ειναι ο 348975.
V.

Papaveri είπε...

@Voulagx
Σ' ευχαριστώ για την ανάλυση. Περιμένω τη λύση στον καινούργιο γρίφο.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes