Τρίτη, 1 Μαρτίου 2016

Οι Αριθμοί

Εάν ένας αριθμός «x» αυξηθεί κατά  «y%» γίνεται 30, ενώ αν αυξηθεί ο «y» κατά «x%» γίνεται 25. Να βρείτε τους αριθμούς «x» και  «y». (Κατ.34)

Λύση

Οι αριθμοί είναι x=25 και y=20. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
x+(x*y)/100=30 (1)
y+(y*x)/100=25 (2)
Αφαιρούμε κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2) κι’ έχουμε :
x+(x*y)/100=30
-y-(y*x)/100= -25
x-y=5 ---> x=y+5 (3)
Αντικαθιστούμε την (3) στην (1) κι’ έχουμε:
x+(x*y)/100=30 ---> y+5+[(y+5)*y]/100=30 ----> 100y+5*100+y^2+5y=30*100 ---> 100y+500+y^2+5y=3.000 ---> y^2+105y=3.000-500 ---> y^2+105y=2.500 ---> y^2+105y-2.500=0 (4)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x= [-b+/-sqrt[(b)^2-4ac)]]/2a έχουμε:
x= [-b+/-sqrt[(b)^2-4ac)]]/2a ---> x= [-105+/-sqrt[(105)^2-4*1*(-2.500)]]/2*1 ---> x= [-105+/-sqrt[11.025+10.000]]/2 ---> x= [-105+/-sqrt[21.025]]/2 ---> x= (-105+/-145)/2 (5)
Από την οποία παίρνουμε τις εξής ρίζες:
y1= (-105+145)/2 ---> y1=40/2 ---> y1=20 (6)
y2=(-105-145)/2 ---> y2= -250/2 ---> y2= -125
Αντικαθιστούμε την (6) στη (3) κι’ έχουμε:
x=y+5 ---> x=20+5 ----> x=25 (7)
Επαλήθευση:
x+(x*y)/100=30 ---> 25+(25*20)/100=30 ---> 25+500/100=30 ---> 25+5=30
y+(y*x)/100=25 ---> 20+(20*25)/100=25 ---> 20+500/100=25 ---> 20+5=25

3 σχόλια:

Nikos Lentzos είπε...

Απάντηση:
Υπάρχουν δύο ζεύγη ακεραίων αριθμών
το πρώτο με τους θετικούς ακεραίους x=25 και y=20
και το δεύτερο με τους αρνητικούς ακεραίους x=-120 και y=-125

Αιτιολόγηση:
x+(y/100)*x = 30 ή x+x*y/100 = 30 (1)
y+(x/100)*y = 25 ή y+x*y/100 = 25 (2)
Με αφαίρεση κατά μέλη των (1) και (2)προκύπτει:
x-y = 5 ή y = x-5 (3)
Από (1) και (3) έχω:
x^2 + 95*x - 3000=0
με ρίζες x=25 και x=-120
Από την (3) για x=25 προκύπτει y=20
και για x=-120 προκύπτει y=-125.

Ανώνυμος είπε...

x+x*y/100=30 και y+x*y/100=25 άρα x-y=5. Επομένως y+y*(5+y)/100=25=> y^2+105y-2500=0, άρα y=[-105+sqrt(105^2+4*2500)]/2=(-105+145)/2=>y=20 και x=25

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια και στους δύο!! Οι απαντήσεις σας είναι σωστές.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes