Ο Γρίφος του Μοναστηριού του Αγίου Εδμόνδου

-«Το μοναστήρι του Άγιου  Εδμόνδου πριν από πολλά χρόνια...», διηγείται ο πατήρ Πέτρος στον πατήρ Παύλο, «...κατακλύστηκε από ποντίκια. Οι χώροι του μοναστηριού γέμισαν από τρωκτικά και ο ηγούμενος του μοναστηριού έπρεπε να αντιμετωπίσει το πρόβλημα. Έδωσε οδηγίες στους μοναχούς να συγκεντρώσουν στο μοναστήρι όλες τις γάτες από τις γύρω περιοχές. Έτσι και έγινε, οι γάτες κυνήγησαν και εξολόθρευσαν όλα τα ποντίκια.»

 Ο  πατήρ Πέτρος συνέχισε:

-«Δεν θυμάμαι πόσες γάτες  έφεραν στο μοναστήρι,θυμάμαι όμως πολύ καλά, ότι κάθε γάτα σκότωσε τον ίδιο αριθμό ποντικών και συνολικά εξολοθρεύτηκαν 1.111.111 ποντίκια.»

-«Μα, είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε πόσες γάτες συγκεντρώθηκαν στο μοναστήρι.», ε ίπε ο Πατήρ Πέτρος, που πριν εγκαταλείψει τα εγκόσμια ασκούσε το επάγγελμα του μαθηματικού.

Πόσες ήταν οι γάτες; (Κατ.34.Νο.753)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2014/02/blog-post_21.html

Λύση

Το πρόβλημα διαπραγματεύεται το θέμα των επαναληπτικών μοναδοαριθμών (repunits). Επαναληπτικός μοναδοαριθμός(repunit)ονομάζεται ο αριθμός που κάθε ψηφίο του είναι μονάδα. Για παράδειγμα οι αριθμοί 1,11,111,1.111, κ.ο.κ . Η λέξη repunit είναι νεολογισμός που σχηματίστηκε από την σύντμηση των λέξεων repeated unit, (επαναλαμβανόμενη μονάδα). Τους συγκεκριμένους αριθμούς του συμβολίζουμε Rn, με το n να εκφράζει το πλήθος των μονάδων. Οι μόνοι γνωστοί πρώτοι αριθμοί αυτού του είδους είναι R2, R19, R23, R317, R1031, R49081, R86453, R109297, R270343.Υπάρχουν άλλοι; Υπάρχουν άπειροι επαναληπτικοί μοναδοαριθμοί; Δεν το γνωρίζουμε. Οι επαναληπτικοί μοναδοαριθμοί είναι συχνό θέμα στα ψυχαγωγικά μαθηματικά , όπως στο συγκεκριμένο πρόβλημα του Άγγλου μαθηματικού και διακεκριμένου εμπνευστή γρίφων H.E. Dudeney (1857-1930). Ο αριθμός αναλύεται μοναδικά σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 1.111.111=239*4.649 Άρα έχουμε: 239 γάτες που κάθε μία σκότωσε 4.649 ποντίκια. Ή 4.649 γάτες που η κάθε μια σκότωσε 239 ποντίκια.