Μία Πυθαγόρεια Τριάδα!!!

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με μήκη  κάθετων πλευρών:  ΑΒ= (30α+40β) cm και ΑΓ=(40α+30β) cm  και το μήκος της υποτείνουσας ΒΓ: ΒΓ=(50α+κβ) cm , όπου α, β, κ, είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Να βρεθεί η μικρότερη  τριάδα τιμών (α, β, κ) που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες. (Κατ.34/Νο.747) 

Από σειρά μαθημάτων προετοιμασίας για μαθηματικούς διαγωνισμούς.

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/11/blog-post_7708.html

Λύση

Οι μικρότερη τριάδα για τα α, β, και κ είναι 99, 100, και 49 αντίστοιχα. Βάσει του τύπου α^2+β^2=γ^2 του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε: (30α+40β)^2+(40α+30β)^2=(50α+κβ)^2 ---> 30^2*(α^2)+2*30*40αβ+40^2*(β^2)+40^2*(α^2)+2*40*30αβ+30^2*(β^2)= 50^2*(α^2)+2*50ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 900α^2+2.400αβ+1.600β^2+1.600α^2+2.4000αβ+900β^2=2.500α^2+100ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 2.500α^2+4.800αβ+2.500β^2=2.500α^2+100ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 2.500α^2-2.500α^2+4.800αβ+2.500β^2=100ακβ+(κ^2)*(β2) ---> 4.800αβ+2.500β^2=100ακβ+(κ^2)*(β^2)(1) Όμως β μεγαλύτερο του 0, άρα μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της (1) με το «β» κι’ έχουμε: 4.800αβ+2.500β^2=100ακβ+(κ^2)*(β^2) ---> 4.800αβ/β+2.500β^2/β=100ακβ/β+(κ^2)*(β^2)/β ---> 4.800α+2.500β=100ακ+(κ^2)*β ---> 2.500β-(κ^2)*β=100ακ-4.800α ---> β*(2.500-κ^2)=100α*(κ-48) ---> β*(502-κ^2)=100α*(κ-48) ---> β*(50-κ)*(50+κ)=100α*(κ-48) (2) Από τη (2) προκύπτει ότι οι όροι (κ-48) και (50-κ) είναι ομόσημοι (α, β, κ>0), οπότε έχουμε: 50-κ μικρότερο του 0 ---> 50 μικρότερο του κ --> άτοπο. κ-48 μικρότερο του 0 ---> κ μικρότερο του 48 ---> άτοπο 50-κ μεγαλύτερο του 0 ---> 50 μεγαλύτερο του κ ---> δεκτό κ-48 μεγαλύτερο του 0 ---> κ μεγαλύτερο του 48 ---> δεκτό Άρα, 50 μεγαλύτερο του κ μεγαλύτερο του 48 ---> κ=49 (3) (όπου «κ» θετικός ακέραιος αριθμός) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: β*(50-κ)*(50+κ)=100α*(κ-48) ---> β*(50-49)*(50+49)=100α*(49-48) ---> β*1*99=100α*1 ---> 99β=100α ---> 99/100=α/β (4) Οι αριθμοί 99 και 100 δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από τον αριθμό 1, οπότε οι μικρότερες τιμές για τα α, και β είναι: α=99 και β=100 αντίστοιχα. Επαλήθευση: (30α+40β)^2+(40α+30β)^2=(50α+κβ)^2 ---> (30*99+40*100)^2+(40*99+30*100)^2=(50*99+49*100)^2 ---> (2.970+4.000)^2+(3.960+3.000)^2=(4.950+4.900)^2 ---> 6.9702+6.9602=9.8502 ---> 48.580.900εκ.^2+48.441.600εκ.^2=97.022.500εκ.^2