Η Συνάντηση

Ένας λαγός τρέχει με 100 βήματα μπροστά από ένα σκύλο. Ο σκύλος τον καταδιώκει για 250 βήματα, τότε οι δυό τους απέχουν μόλις 30 βήματα. Σε πόσα βήματα θα έφτανε ο σκύλος το λαγό; (Κατ.6/Νο.12)

Σημείωση:

Αρχαίο Κινέζικο Πρόβλημα. Από την «Κλασσική Αριθμητική του Suan-Ching», τ’ οποίο περιλαμβάνει 92 προβλήματα, του Κινέζου μαθηματικού Quijian Zhang (430-490), γνωστός ως (Sun Tsu Suan Ching ή Chang Ch’ui - Chin ή Chang  Ch’ui - .chien), που δημοσιεύθηκε το 468μ.Χ.,

Λύση

Λύση του Ν. Λιλιμπάκη. Ο σκύλος και ο λαγός θα συναντηθούν σε 50 βήματα. Ο σκύλος θα φτάσει το λαγό αφού η ταχύτητά του είναι μεγαλύτερη (250 > 100). Έστω «Σ» ο σκύλος, «Λ» ο λαγός και «ΣΑ» το σημείο συνάντησης που απέχει από το λαγό απόσταση «χ» βήματα (το βήμα είναι μονάδα μήκους). Η ταχύτητα του σκύλου είναι 250 μονάδες ενώ του λαγού 100 μονάδες (βήματα ανα μονάδα χρόνου). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: (ΛΑ) = (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (1) (ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) (2) (ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) (3) Από την (1) συνάγουμε ότι: (ΛΑ) = (ταχύτητα λαγού)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) ---> (ΛΑ)=100*t (4) Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε: (ΣΑ) = (ΣΛΑ) +(ΛΑ) ---> (ΣΑ)=30+100*t (5) Από τη (3) συνάγουμε ότι: (ΣΑ) = (ταχύτητα σκύλου)*(χρόνος t για να φθάσει στο Α) ---> (ΣΑ)=250*t (6) Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε: (ΣΑ)=30+100*t ---> 250*t=30+100*t ---> 250*t-100*t=30 --->150*t=30 ---> t=30/150 ---> t=0.2 μονάδες χρόνου (7) Αντικαθιστούμε την (7) στις (4) (5) και (6) κι’ έχουμε: (ΛΑ)=100*t ---> (ΛΑ)=100*0,2 ---> (ΛΑ)=20 βήματα (8) (ΣΑ)=30+100*t ---> (ΣΑ)=30+100*0,2 ---> (ΣΑ)=30+20=50 βήματα (9) (ΣΑ)=250*t ---> (ΣΑ)=250*0,2 ---> (ΣΑ)=50 βήματα (10) Λύση του Ε. Αλεξίου. Κάρλο επειδή αυτό είναι πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής (δημοτικό) θα το λύσω με εργαλείο την πρακτική αριθμητική και για να μην μείνει άγραφη η σελίδα αλλά και γιατί μπορεί να διαβάζουν Διασκεδαστικά Μαθηματικά μαθητές Δημοτικού! Πρόκειται για κλασικό πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής που επιλύεται με την απλή μέθοδο των τριών, τη μέθοδο δηλαδή, όπου από τις τρεις γνωστές τιμές βρίσκουμε την τέταρτη. Με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του λαγού. Όταν ο λαγός κάνει 100 βήματα ο σκύλος κάνει 250 βήματα, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά 150 βήματα, οπότε λέμε: Κατάταξη: Στα 100 βήματα λαγού, ο σκύλος πλησιάζει κατά 150 βήματα Σε πόσα (X;) βήματα λαγού ο σκύλος θα πλησιάσει κατά 30 βήματα; X=100×30/150=20 βήματα Ή με βάση τα βήματα (ταχύτητα) του σκύλου. Όταν ο σκύλος κάνει 250 βήματα ο λαγός κάνει 100 βήματα, άρα πλησιάζει τον λαγό κατά 150 βήματα, οπότε λέμε: Κατάταξη: Στα 250 βήματα του σκύλου, ο σκύλος πλησιάζει κατά 150 βήματα Σε πόσα (X;) βήματα σκύλου, ο σκύλος θα πλησιάσει κατά 30 βήματα; X=250×30/150=50 βήματα