Δευτέρα, 13 Οκτωβρίου 2014

Τα Διαμάντια

Ρωτάει  ο  κλέφτης διαμαντιών Λαμόγιος τον βοηθό του  Αρπάξη:
-«Που είναι  τα διαμάντια που άφησα χθες βράδυ στο χρηματοκιβώτιο; Όταν τα έβαλα στο χρηματοκιβώτιο  τα είχα τοποθετήσει σε σχήμα τετραγώνου, αλλά τώρα που άνοιξα το χρηματοκιβώτιο  βρήκα μόνο δυο.»
Ο Αρπάξης αποκρίθηκε:
-«Ήρθαν ο  Βουτάς και τα δυο αδέρφια του  και τα πήραν αφεντικό»
Και συνέχισε:
-«Άφησαν μόνο δυο, γιατί δεν μπορούσαν να τα μοιράσουν εξίσου
μεταξύ τους.»
-«Λες ψέματα.», απάντησε νευριασμένα ο Λαμόγιος, και τον ρήμαξε
στο ξύλο.
Πως κατάλαβε ο Λαμόγιος ότι ο βοηθός του έλεγε ψέματα; (Κατ.34/Νο.743)
(Ένα πρόβλημα από σειρά μαθημάτων προετοιμασίας  για μαθηματικούς διαγωνισμούς.)

Λύση

Εφόσον τα διαμάντια μπορούσαν αρχικά να τοποθετηθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο, θα πρέπει να είναι στο πλήθος όσο το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, έστω «χ^2» .Αφού ο Βούτας και τα δυο αδέλφια του δεν μπόρεσαν να μοιραστούν τα διαμάντια επειδή περίσσευαν 2 θα πρέπει να είναι στο πλήθος 3y+2. Άρα έχουμε χ^2=3y +2 (1) Εξετάζουμε αν υπάρχει ζεύγος φυσικών χ, y που να ικανοποίει την (1).Για τον αριθμό χ υπάρχουν τρεις περιπτώσεις : Α) Να διαιρείται με το 3. Β) Να διαιρείται με το 3 και να αφήνει υπόλοιπο 1. Γ) Να διαιρείται με το 3 και να αφήνει υπόλοιπο 2. Ας δούμε μια- μια τις περιπτώσεις: Α) Αν χ=3κ (κ φυσικός αριθμός ), τότε: χ^2=9κ^2=3y+2. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y+2) δεν διαιρείται με το 3. Β) Αν χ=3κ+1 , τότε χ^2=9κ^2+6κ+1=3y+2. ή 9κ^2+6κ=3y+1 ή 3(3κ^2+2κ)=3y+1. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y+1) δεν διαιρείται με το 3. Γ) Αν χ=3κ+2 , τότε χ^2=9κ^2+12κ+4=3y+2. ή 9κ^2+12κ=3y-2 ή 3(3κ^2+4κ)=3y-2. Άτοπο, διότι ο αριθμός (3y-2) δεν διαιρείται με το 3. Άρα η εξίσωση (1) είναι αδύνατη, οπότε ο βοηθός του Λαμόγιου έλεγε ψέματα.

2 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Αφού αυτοί που τα πήραν ήταν τρεις και αυτά που πήραν, κατά τον βοηθό, μπόρεσαν να τα μοιράσουν μεταξύ τους πρέπει το σύνολο των διαμαντιών που πήραν να ήταν πολλαπλάσιο του 3.
Όμως το τετράγωνο αριθμού (X^2)mod3 είναι ή 0 ή 1 ποτέ 2, άρα μοδίω3 καταφανώς έλεγε ψέματα.

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes