Τρίτη, 8 Ιουλίου 2014

Ο Γρίφος των Αυγών

Η κυρά Μαρία πήγαινε κάθε Τετάρτη στη λαϊκή  για να πουλήσει φρέσκα αυγά 
από τις κότες της. Μια από αυτές τις Τετάρτες έγινε το εξής περίεργο:
Πούλησε τo 1/2 των αυγών που είχε σε κάποιον και του έδωσε και μισό αυγό ως 
δώρο. Μετά πούλησε το 1/3 από όσα αυγά είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και 
του έδωσε και 1/3 του αυγού ως δώρο. Μετά πούλησε το 1/4 από όσα αυγά 
είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και του έδωσε και 1/4 του αυγού ως δώρο.
Τέλος πούλησε το 1/5 από όσα αυγά είχαν μείνει σε κάποιον άλλον και του
έδωσε και 1/5 του αυγού ως δώρο.
Ό,τι αυγά περίσσεψαν τα μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς της.
Ποτέ, όμως, δεν χρειάστηκε να σπάσει κάποιο αυγό σ’ αυτή τη διαδικασία.
Πόσα ήταν τα ελάχιστα αυγά που μπορεί να είχε αρχικά η κυρά Μαρία; (Κατ.34/Νο.708)

Λύση

Λύση του μαθηματικού Θεόδωρου Δρούγα. Η κυρά Μαρία είχε 719 αυγά όταν πήγε στη Λαϊκη για να τα πουλήσει. Έστω «χ» το αρχικο πληθος των αυγών. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε: Στον πρώτο πούλησε: χ/2+1/2= (χ+1)/2 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: χ-(χ+1)/2=(2χ-χ-1)/2=(χ-1)/2 αυγά. Στον δεύτερο πούλησε: (1/3)(χ-1)/2+1/3=(χ-1)/6+1/3=(χ-1+2)/6=(χ+1)/6 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-1)/2-(χ+1)/6=[3*(χ-1)-(χ+1]/6=(3χ-3-χ-1)/6=(2χ-4)/6=2*(χ-2)/6=(χ-2)/3αυγά. Στον τρίτο πούλησε: (1/4)*(χ-2)/3+1/4=(χ-2)/12+1/4=(χ-2+3)/12=(χ+1)/12 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-2)/3-(χ+1)/12=[4*(χ-2)-(χ+1)/12=(4χ-8-χ-1)/12=(3χ-9)/12=3*(χ-3)/12=(χ-3)/4 αυγά. Στον τέταρτο πούλησε: (1/5)*(χ-3)/4+1/5=(χ-3)/20+1/5=(χ-3+4)/20=(χ+1)/20 αυγά κι’ έμειναν υπόλοιπο: (χ-3)/4-(χ+1)/20=[5*(χ-3)-(χ+1)]/20=(5χ-15-χ-1)/20=(4χ-16)/20=4*(χ-4)/20=(χ-4)/5 αυγά. Επειδή, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, μετά τη πώληση των αυγών της έμειναν ένας αριθμός αυγών, τα οποία μοίρασε εξίσου σε 13 συγγενείς, έχουμε την εξίσωση: (χ-4)/5=13κ --> χ-4=5*13κ --> χ-4=65κ --> χ=65κ+4 (1), (κ ακέραιος μεγαλύτερος ή ισος του 1, που αντιπροσωπεύει τον αριθμό των αυγών που πήρε κάθε συγγενής. Διερεύνηση με Διαρετότητα:. Από την πρώτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν αρχικά: (χ+1)/2=(65κ+4+1)/2=(65κ+5)/2=5(13κ+1)/2, άρα το (13κ+1) είναι άρτιος αριθμός (αρκεί να θυμηθούμε ότι δεν έσπασε κανένα αυγό) οπότε κ είναι σίγουρα περιττός αριθμός. (πιθανοί υποψήφιοι 1,3,5,7,9,11,… αναζητούμε τον μικρότερο) Περισσεύουν:(65κ+4)- (65κ+5)/2=[2*(65κ+4)-(65κ+5)]/2=(130κ+8-65κ-5)/2= (65κ+3)/2 Από την δεύτερη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/3)(65κ+3)/2+1/3=(65κ+3)/6+1/3=(65κ+3+2)/6=(65κ+5)/6=5*(13κ+1)/6, αρκεί να διαιρείται το (13κ+1) με το 6 έχουμε καταλήξει προηγούμενα ότι το (13κ+1) διαιρείται με το 2, άρα αρκεί να διαιρείται και με το 3 το (13κ+1), οπότε απορρίπτουμε για κ τους 1 ,3,7 ,9. Περισσεύουν:(65κ+3)/2-(65κ+5)/6=[3*(65κ+3)-(65κ+5)]/6=(195κ+9-65κ-5)/6= (130κ+4)/6=2(65κ+2)/6=(65κ+2)/3 Από την τρίτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/4)*(65κ+2)/3+1/4= (65κ+2)/12+1/4=(65κ+2+3)/12=(65κ+5)/12=5(13κ+1)/ 12 Ο (13κ+1) πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 12, κάτι το οποίο δεν ισχύει για κ=5, οπότε απορρίπτεται και ο 5. Περισσεύουν: (65κ+2)/3-(65κ+5)/12=[4*(65κ+2)-(65κ+5)]/12=(260κ+8-65κ-5)/12= (195κ+3)/12=3*(65κ+1)/12=(65κ+1)/4 Από την τέταρτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν: (1/5)(65κ+1)/4+1/5=(65κ+1)/20+1/5=(65κ+1+4)/20=(65κ+5)/20 Περισσεύουν: (65κ+1)/4-(65κ+5)/20=[5*(65κ+1)-(65κ+5)]/20=(325κ+5-65κ-5)/20= 260κ/20=13κ Από τ’ ανωτέρω διαπιστώνουμε ότι ο «κ» ισούται με 11, η οποία είναι η μικρότερη τιμή που ικανοποίει όλες τις συνθήκες. Αντικαθιστούμε τη τιμή του κ=11 στην (1) κι’ έχουμε: χ=[(65*κ)+4] --> χ=[(65*11)+4] --> χ=715+4 --> χ=719 αυγά. Επαλήθευση: 1)Πρώτη Πώληση:(χ+1)/2=(719+1)/2=720/2=360 αυγά. 2)Δεύτερη Πώληση:(χ+1)/6=(719+1)/6=720/6=120 αυγά. 3)Τρίτη Πώληση:(χ+1)/12=(719+1)/12=720/12=60 αυγά. 4)Τέταρτη Πώληση:(χ+1)/20=(719+1)/20=720/20=36 αυγά. Συνολικά πούλησε:360+120+60+36=576 αυγά. Της έμειναν απούλητα:719-576=143 αυγά. Τα 143 αυγά, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος τα μοίρασε εξίσου στους 13 συγγενείς, οι οποίοι πήραν από:143:13=11 αυγά (13*κ=13*11=143) ο κάθε συγγενής.

4 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

“Μπακάλικη” και βιαστική η λύση μου

4η πώληση Χi-(Χi/5 +1/5) =Κ*13 =>Κ=4ν+3, Χi=65ν+49
για ν=0,1 δεν έχουμε λύση, για ν=2 ->Κ=11, Χi=179

3η πώληση Χi-(Χi/4 +1/4)= 179=>Χi=239

2η πώληση Χi-(Χi/3 +1/3)=239=>Xi=359

1η πώληση Χ-(Χ/2 +1/2)=359 =>Χ=719

(Πολλά δεν είναι? Πόσες κότες είχε?)

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Αθανάσιος Δρούγας είπε...

Έστω χ το αρχικο πληθος των αυγών τότε

Στον πρώτο πούλησε

χ/2+1/2=(χ+1)/2 αυγά έμειναν χ-(χ+1)/2=(χ-1)/2 αυγά



Στον δεύτερο πούλησε

(Χ-1)/6+1/3=(χ+1)/6 αυγά έμειναν (χ-1)/2-(χ+1)/6=(χ-2)/3 αυγά



Στον τρίτο πούλησε

(Χ-2)/12+1/4=(χ+1)/12 αυγά έμειναν (χ-2)/3-(χ+1)/12=(χ-3)/4 αυγά



Στον τέταρτο πούλησε

(Χ-2)/20+1/5=(χ+1)/20 αυγά έμειναν (χ-3)/4-(χ+1)/20=(χ-4)/5 αυγά



Από υπόθεση (χ-4)/5=13κ ή χ=65κ+4, κ ακέραιος μεγαλύτερος ή ισος του 1. Τωρα ή πλακώνουμε τις δοκιμές ή το πάμε γύρω-γύρω με διαρετότητα αν δώσει κατι.

Από την πρώτη πώληση προκύπτει ότι πουλήθηκαν αρχικά

(65κ+4)/2+1/2=(65κ+5)/2=5(13κ+1)/2 άρα το 13κ+1 είναι άρτιος αριθμός( αρκεί να θυμηθούμε ότι δεν έσπασε κανένα αυγό) οπότε κ είναι σίγουρα περιττός αριθμός.

(πιθανοί υποψήφιοι 1,3,5,7,9,11,… αναζητούμε τον μικρότερο)

Περισσεύουν 65κ+4- (65κ+5)/2=(65κ+3)/2

Από την δεύτερη πώληση προκύπτει

(65κ+3)/6+1/3=(65κ+3)/6+2/6=(65κ+5)/6=5(13κ+1)/6 αρκεί να διαιρείται το 13κ+1 με το 6 έχουμε καταλήξει προηγούμενα ότι 13κ+1 διαιρείται με το 2 άρα αρκεί να διαιρείται και με το 3 ο 13Κ+1, οπότε απορρίπτουμε για κ τους 1 ,3,7 ,9.

Περισσεύουν (65κ+3)/2-(65κ+5)/6=3(65κ+3)/6-(65κ+5)/6= (130κ+4)/6=2(65κ+2)/6=(65κ+2)/3

Από την τρίτη πώληση προκύπτει

=(65κ+2)/12+1/4=(65κ+2)/12+3/12=(65κ+5)/ 12=5(13κ+1)/ 12

Ο 13κ+1 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 12 κάτι το οποίο δεν ισχύει για χ=5, απορρίπτεται και ο 5.

Συνεχίζοντας έτσι διαπιστώνουμε ότι ο 11 ικανοποίει όλες τις συνθήκες και προκύπτει χ=65*11+4=719

Papaveri είπε...

@Αθανάσιος Δρούγας
Ευχαριστώ τον μαθηματικό Αθανάσιο Δρούγα για την ώραια παρουσίαση της λύσης του προβλήματος.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes