Τετάρτη, 16 Ιουλίου 2014

Τα Ψώνια

Ο Κώστας πάει σ’ ένα επώνυμο πολυκατάστημα και ξοδεύει τα μισά χρήματα απ’ όσα είχε στο πορτοφόλι του, για αγορά ρούχων. Τελικά διαπιστώνει ότι έχει πλέον τόσα λεπτά, όσα ευρώ είχε αρχικά. Επίσης τα ευρώ που έχει τώρα είναι τα μισά από τα λεπτά που είχε αρχικά (π.χ. είχε 12,10 και έχει 5,12). Πόσα χρήματα είχε αρχικά πριν πάει στο πολυκατάστημα;(Κατ.34/Νο.710)

Λύση

Ο Κώστας αρχικά στο πορτοφόλι του, πριν πάει στο πολυκατάστημα είχε 99€ και 98 λεπτά. Έστω α € και β λεπτά τ' αρχικά χρήματα.Μετά από τις αγορές που έκανε του έμειναν β/2 € και α λεπτά. Εξ’ ορισμού έχουμε: α = 2 β/2 + 1 (1) β = 2α – 100 (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: α = 2 β/2 + 1 --> α=β+1 (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: β = 2α – 100 --> β=[2*(β+1)-100) --> β=2β+2-100 --> 2β-β=100-2 --> β=98 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: α=β+1 --> α=98+1 --> α=99 Ο Κώστας είχε αρχικά στο πορτοφόλι του, πριν πάει στο πολυκατάστημα 99.98€ και μετά τις αγορές του έμειναν 49,99€ (99,98/2=49,99€), δηλαδή τα μισά… Επαλήθευση: α = 2 β/2 + 1 --> 99=(2*98)/2+1 --> 99=98+1 β = 2α – 100 --> 98=[(2*99)-100] --> 98=198-100 Λύση του Ε. Αλεξίου. Αρχικά είχε X ευρώ και Υ λεπτά Τελικά του έμειναν Υ/2 ευρώ και Χ λεπτά οπότε : 100Χ +Υ= 100Υ +2Χ --> 100Χ-2Χ=100Υ-Υ --> 98Χ=99Υ Χ=99 Υ=98 → Είχε 99,98€ και έμειναν: 98/2€ +99Λ =49.99€ --> 99.98€/2=49.99€ Λύση του μαθηματικού Θ. Δρούγα. Έστω χ ευρώ και y λεπτά είχε αρχικά στο πορτοφόλι , y άρτιος μεγαλύτερος ή ίσος του μηδέν και μικρότερος του 100. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: • «x» άρτιος: Μετά την αγορά στο πορτοφόλι του έχει: χ/2 ευρώ και y/2 λεπτά. Από υπόθεση προκύπτουν οι εξισώσεις χ=y/2 και χ/2=y/2 δίνουν μηδενική λύση. Άρα απορρίπτονται. • «x» περιττός: Τότε μετά την αγορά του μένουν: ( χ-1)/2 ευρώ και y/2+50 λεπτά Εφοσον εχουμε περιττο αριθμο ευρω χ=2κ+1 ευρω και y λεπτα, για να μπορέσουμε να το διαιρέσουμε σε δυο ίσα ποσά το γράφουμε χ-1 =2κ ευρω και 100+y λεπτα (1 ευρω =100λεπτα) και μετα τον υποδιπλασιασμό προκύπτει (χ-1)/2 και 50+y/2 λεπτα Από υπόθεση προκύπτουν δυο εξισώσεις : x=(y/2+50) (1) y/2=(x-1)/2 (2) Από τη (2) συνάγουμε ότι: y/2=(x-1)/2 --> y=2*(x-1)/2 --> y=(x-1) (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε: x=(y/2+50) --> x=[(x-1)/2+50] --> 2x=[x-1+(2*50)] --> 2x=x-1+100 --> 2x-x=100-1 --> x=99 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: y=(x-1) --> y=99-1 --> y=98 (5) Άρα, αρχικά είχε 99€ και 98 λεπτά. Το ποσό που του έμεινε είναι 49€ και 99 λεπτά που πληρει τις προϋποθέσεις του προβλήματος. Επαλήθευση: x=(y/2+50) --> x=98/2+50 --> x=49+50 --> x=99 y/2=(x-1)/2 --> y=2*(x-1)/2 --> y=(x-1) --> y=99-1 --> y=98

4 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Αρχικά X ευρώ και Υ λεπτά
Τελικά Υ/2 ευρώ και Χ λεπτά οπότε
(Χ*100 +Υ)= 100Υ +2Χ)
Χ=99 Υ=98 →
Είχε 99,98 και έμειναν 98/2 Ε +99 Λ =49.99 Ε
99.98/2=49.99

Αθανάσιος Δρούγας είπε...


Κάπως έτσι πρέπει να είναι:
Έστω χ ευρώ και y λεπτά είχε αρχικά στο πορτοφόλι , y άρτιος μεγαλύτερος ή ίσος του μηδέν και μικρότερος του 100.
Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:
• x άρτιος
Μετά την αγορά στο πορτοφόλι του έχει χ/2 ευρώ και y/2 λεπτά.
Από υπόθεση προκύπτουν οι εξισώσεις χ=y/2 και χ/2=y/2 που δίνουν μηδενική λύση άρα απορρίπτονται.
• x περιττός τότε μετά την αγορά του μένουν ( χ-1)/2 ευρώ και y/2+50 λεπτά
Από υπόθεση προκύπτουν δυο εξισώσεις :
y/2+50=x και (χ-1)/2=y/2 που δίνουν ως λύσεις χ=99,y=98
Άρα,αρχικά είχε 99 ευρώ και 98 λεπτά.
Το ποσό που του έμεινε είναι 49 ευρώ και 99 λεπτά που πληρει τις προϋποθέσεις του προβλήματος.

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Αθανάσιος Δρούγας
Ευχαριστώ τον μαθηματικό κ. Δρούγα για τη λύση που έδωσε στο πρόβλημα.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes