Οι Κυλιόμενες Σκάλες

Δύο αδέλφια, ο Άγγελος και η Νίκη θέλουν να ανεβούν στον επόμενο όροφο ενός σούπερ μάρκετ με τις κυλιόμενες σκάλες. Ξεκινούν την ίδια στιγμή από το κάτω σκαλοπάτι και ο Άγγελος κάνει δύο βήματα για κάθε βήμα που κάνει η Νίκη. Όταν κατέβηκαν σε κάποια στιγμή ο Άγγελος βρισκόταν στο 28^ο βήμα του και η Νίκη στο 21^ο. Πόσα σκαλοπάτια της κυλιόμενης σκάλας είναι ορατά ανά πάσα στιγμή; (Κατ.34/Νο.695)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_3203.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Ανά πάσα στιγμή τα ορατά σκαλοπάτια είναι 42. Εξ’ ορισμού έχουμε 2 βήματα η «ταχύτητα» του Άγγελου, 1 βήμα η «ταχύτητα» της Νίκης. Έστω «Υ» η «ταχύτητα» της ανερχόμενης σκάλας , και «Χ» τα πλέον των 28 βημάτων/σκαλοπατιών (29ο-1ο=28) που κάνει ο Άγγελος. Άρα (Χ+28) τα ορατά ανά πάσα στιγμή σκαλοπάτια. Με βάση τα ανωτέρω δεδομένα ισχύουν οι σχέσεις: 28/2=(Χ+28)/(Υ+2) (1), 21/1=(Χ+28-21)/Υ (2). Από την (1) συνάγουμε ότι: 28/2=(Χ+28)/(Υ+2) --> (28/2)*(Υ+2)=Χ+28 --> 14*(Υ+2)=Χ+28 --> 14Υ+28=Χ+28 --> Χ=14Υ-28+28 --> Χ=14Υ (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 21/1=(Χ+28-21)/Υ --> 21/1=(14Υ+28-21)/Υ --> 21Υ=14Υ+7 --> 21Υ-14Υ=7 --> 7Υ=7 --> Υ=7/7 --> Υ=1 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε: Χ=14Υ --> Χ=14*1 --> Χ=14 (5) Η επίλυση του παραπάνω συστήματος δίνει Χ=14 σκαλοπάτια, ανά 2 του Άγγελου, και Υ=1 σκαλοπάτι ανά ένα της Νίκης. Άρα τα ορατά σκαλοπάτια είναι: Χ+28=14+28=42 σκαλοπάτια.