Τρίτη, 20 Μαΐου 2014

Η Ισότητα

Μπορούν ένας ελέφαντας και ένα ποντίκι να κάνουν τραμπάλα; Μα, και βέβαια μπορούν! Γιατί, όπως αποδεικνείεται κατωτέρω, ένας ελέφαντας και ένα ποντίκι έχουν πάντα το ίδιο βάρος!
Απόδειξη: 
Έστω «ε» το βάρος του ελέφαντα και «π» το βάρος του ποντικιού. Το μέσο βάρος τους θα είναι: 
μ = (ε + π)/2 --> 2μ=ε+π (1)
Απ’ όπου έπονται οι ισότητες: 
ε - 2μ = - π (2) 
ε = - π + 2μ.(3)
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ισότητες (2) και (3) κι’ έχουμε: 
ε*(ε-2μ)= -π*(-π+2μ) --> ε2 - 2εμ = π2 - 2πμ (4)
Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το «μ2» κι’ έχουμε: 
ε2 - 2εμ + μ22 - 2πμ + μ2 (5)
Και τα δύο μέλη αποτελούν το ανάπτυγμα: 
(ε - μ)2=(π - μ)2 (6)
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στην τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε: 
sqrt(ε - μ)2=sqrt(π - μ)2 (7)
Κάνουμε εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας κι’ έχουμε: 
ε - μ = π – μ (8) 
ε=π+μ-μ --> ε = π (9)  όπερ έδει δείξαι! (ο.ε.δ.) 
...φυσικά υπάρχει κάποιο λάθος στους υπολογισμούς, αλλά πού ακριβώς;

Λύση

Λύση του Papaveri. Οι αριθμοί (ε-μ) και (π-μ) είναι αντίθετοι. Ενώ, λοιπόν, είναι ίσα τα τετράγωνά τους στη 12η γραμμή, οι ίδιοι δεν είναι ίσοι. Το λάθος, λοιπόν, βρίσκεται στη 16η γραμμή. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H ισότητα των τετραγώνων δύο ποσοτήτων δεν συνεπάγεται υποχρεωτικά την ισότητα των ποσοτήτων. Φυσικά λοιπόν το λάθος είναι στη μετάβαση απο την (6) στην λανθασμένη (8). Στην αρχική πάντως ερώτηση της ανάρτησης η απάντηση είναι πως μπορούν να κάνουν τραμπάλα ένας ε και ένα π ,αρκεί να έχουν λόγο μοχλοβραχιόνων αντιστρόφως ανάλογο των βαρών τους. Λύση του Ανώνυμου. Λείπουν οι απόλυτες τιμές στο βήμα 8.

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

H ισότητα των τετραγώνων δύο ποσοτήτων δεν συνεπάγεται υποχρεωτικά την ισότητα των ποσοτήτων. Φυσικά λοιπόν το λάθος είναι στη μετάβαση απο την (6) στην λανθασμένη (8).
Στην αρχική πάντως ερώτηση της ανάρτησης η απάντηση είναι πως μπορούν να κάνουν τραμπάλα ένας ε και ένα π ,αρκεί να έχουν λόγο μοχλοβραχιόνων αντιστρόφως ανάλογο των βαρών τους.

Ανώνυμος είπε...

Λείπουν οι απόλυτες τιμές στο βήμα 8.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes