Δευτέρα, 29 Οκτωβρίου 2012

Τα Δένδρα

Δύο δέντρα βρίσκονται σε απόσταση 100 m, το ένα από το άλλο, και έχουν και τα δύο ύψος 100 m. Εάν πέσουν και τα δύο (προς μία κατεύθυνση), ποια είναι η πιθανότητα το ένα δένδρο να πέσει πάνω στο άλλο;  (Κατ.34/Νο.532)


Λύση

Λύση του Γίωργου Ριζόπουλου. Η περίπτωση μπορεί να προσομοιωθεί με δύο αλληλοτεμνόμενους κατά κέντρα κύκλους ακτίνας ρ1=ρ2=100μ. Ένα Vesica Piscis (ή Mandorla, στα Ιταλικά): http://en.wikipedia.org/wiki/Vesica_piscis http://it.wikipedia.org/wiki/Vesica_piscis Για να συγκρουστούν τα δέντρα (οι ακτίνες ρ στο μαθηματικό Μοντέλο ) πρέπει να πέσουν στην τομή των κύκλων. Το κάθε τόξο κύκλου που σχηματίζεται (και στο οποίο αντιστοιχεί η κοινή χορδή) είναι ακριβώς 1/3 του κύκλου. Άρα η πιθανότητα η πρώτη ακτίνα (δέντρο) να πέσει εκεί, είναι 1/3. Ομοίως και για το άλλο 1/3. Άρα η πιθανότητα να πέσουν και η δυο στην τομή (στο Vesica Piscis) είναι 1/3 * 1/3= 1/9. Για να συγκρουστούν όμως (να τμηθούν δηλαδή οι ακτίνες) η πιθανότητα είναι ½. Αρκεί να σκεφτούμε ότι πέφτει η πρώτη ακτίνα και η δεύτερη έχει 0,5 πιθανότητα να συμπέσει στο ίδιο μισό (1/6 του κύκλου) του τόξου (1/3 του κύκλου). Άρα η πιθανότητα σύγκρουσης είναι (1/9)*1/2 =1/18 , περίπου 5,55%. Λύση του batman1986. Εφ όσον είναι δεδομένο ότι τα δέντρα πέφτουν προς την ίδια κατεύθυνση άρα το ίδιο ημιεπίπεδο πρέπει να σχηματίζουν τρίγωνο για να τμηθούν έστω και οριακά. Κάθε δέντρο διαγράφει γωνία από 0 έως 180 μοίρες σε κάθε ένα από τα 2 ημιεπίπεδα. Η οριακή περίπτωση σχηματισμού τριγώνου είναι και τα 2 δέντρα να σχηματίζουν γωνία 60 μοιρών (ισόπλευρο τρίγωνο, δηλαδή) αφού οι ακτίνες τους είναι ρ=100μ ,όσο και η μεταξύ τους απόσταση. Η γωνία μετριέται με φορά από την ευθεία που τα ενώνει προς το ύψος του καθενός. Για γωνία μικρότερη των 60 μοιρών και για τα 2 δέντρα έχουμε σχηματισμό τριγώνου. Εάν όμως κάποιο από τα 2 έχει μεγαλύτερη γωνία των 60 μοιρών τότε δεν σχηματίζεται τρίγωνο άρα και δεν τέμνονται Άρα η επιθυμητή φορά διαγραφής αναφέρεται στις 60 μοίρες άρα στο 1/3 του συνόλου των ενδεχομένων (των 180 μοιρών, δηλαδή) Άρα P=(1/3)*(1/3)=1/9, περίπου 1,11%

11 σχόλια:

batman1986 είπε...

Το χω απαντήσει από εκεί που το πήρες άρα δεν το μαρτυράω:)

Papaveri είπε...

@ batman1986
Το κατάλαβα ότι είναι δική σου η λύση από το ύφος της απαντήσεως.
Περιμένω απάντηση στο σχόλιο που έκανα στο σχόλιό σου στους
πειρατές.:-)

batman1986 είπε...

Οταν λες από το ύφος τι εννοείς?Όσον αφορά την ώρα δεν έχω άποψη απλώς διαφψνώ με το σχόλιο του κ. Ριζόπουλου να εμφανίζονται αυτόματα οι απαντήσεις δίχως την έγκριση του μπλόγκερ.Το πόσο χρονικό διάστημα αποφασισέ το εσύ

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Η περίπτωση μπορεί να προσομοιωθεί με δύο αλληλοτεμνομενους κατά κέντρα κύκλους ακτίνας ρ1=ρ2=100μ. Ένα Vesica Piscis (ή Mandorla, στα Ιταλικά) http://en.wikipedia.org/wiki/Vesica_piscis
Για να συγκρουστούν τα δέντρα (οι ακτίνες ρ στο μαθ. Μοντέλο )πρέπει να πέσουν στην τομή των κύκλων.
Το κάθε τόξο κύκλου που σχηματίζεται (και στο οποίο αντιστοιχεί η κοινή χορδή) είναι ακριβώς 1/3 του κύκλου. Άρα η πιθανότητα η πρώτη ακτίνα (δέντρο) να πέσει εκεί, είναι 1/3.
Ομοίως και για το άλλο 1/3. Άρα η πιθανότητα να πέσουν και η δυο στην τομή (στο Vesica Piscis) είναι 1/3 * 1/3= 1/9. Για να συγκρουστούν όμως (να τμηθούν δηλαδή οι ακτίνες) η πιθανότητα είναι ½. Αρκεί να σκεφτούμε ότι πέφτει η πρώτη ακτίνα και η δεύτερη έχει 0,5 πιθανότητα να συμπέσει στο ίδιο μισό (1/6 του κύκλου) του τόξου (1/3 του κύκλου).
Άρα η πιθανότητα σύγκρουσης είναι (1/9)*1/2 =1/18 , περίπου 5,55%

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Aν to "προς μία κατεύθυνση" της εκφώνησης νοείται σαν "συνευθειακά" η πιθανότητα σύγκρουσης βέβαια είναι 1 στις 4. (ευνοϊκή μία περίπτωση που πέφτει το αριστερό προς τα δεξιά και το δεξί προς τα αριστερά).

batman1986 είπε...

Σωστός ο κ. Ριζόπουλος απλώς επειδή η εκφώνηση γράφει προς την ίδια κατεύθυνση η απάντηση είναι 1/9?(εγώ το σκέφτηκα με τη δυνατότητα δημιουργίας τριγώνου από τους κορμούς και την μεταξύ τους απόσταση)

batman1986 είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος

Eγώ το ερμήνευσα ώς προς το ίδιο ημειεπίπεδο από τα 2 που δημιργείται με την μετξύ τους απόσταση άρα η σκέψη ας είναι ολόσωστη μόνο που δεν χρειάζεται πολ/μος με το 1/2

batman1986 είπε...

Θα στείλω και το δικό μου σκεπτικό αργότερα μιας και δόθηκε η απάντηση

batman1986 είπε...

Η δικιά μου λύση είναι η εξής:

Εφ όσον είναι δεδομένο ότι τα δέντρα πέφτουν προς την ίδια κατεύθυνση άρα το ίδιο ημιεπίπεδο πρέπει να σχηματίζουν τρίγωνο για να τμηθούν έστω και οριακά.

Κάθε δέντρο διαγράφει γωνία από 0 εώς 180 μοίρες σε κάθενα από τα 2 ημιεπίπεδα.Η οριακή περίπτωση σχηματισμού τριγώνου είναι και τα 2 δέντρα να σχηματίζουν γωνία 60 μοιρών(ισόπλευρο τρίγωνο δηλαδή) αφού οι ακτίνες τους είναι ρ=100μ ,όσο και η μεταξύ τους απόσταση.Η γωνία μετριέται με φορά από την ευθεία που τα ενώνει προς το ύψος του καθενός

Για γωνία μικρότερη των 60 και για τα 2 δέντρα έχουμε σχηματισμό τριγώνου.Εάν όμως κάποιο από τα 2 έχει >60 τότε δεν σχηματίζεται τρίγωνο άρα και δεν τέμνονται

Άρα η επιθυμητή φορά διαγραφής αναφέρεται στις 60 μοίρες άρα στο 1/3 του συνόλου των ενδεχομένων(των 180 μοιρών δηλαδή)

Άρα P=(1/3)*(1/3)=1/9

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

E ναι, δεν λέμε κάτι διαφορετικό επί της ουσίας. Εσύ θεωρείς σαν το "προς μία κατεύθυνση" το ημιεπίπεδο που μπορεί να συμβεί η τμήση ,οπότε λογικά η σχετική πιθανότητα είναι η διπλάσια από αυτή της γενικής περίπτωσης (που τα δέντρα μπορουν να πέσουν σε οποιαδήποτε διεύθυνση του επιπέδου).(360 μοιρ.) :-)


Όπως και νάχει (βασικά είναι γλωσσικό το ζήτημα) το θέμα (ανά περίπτωση) διελευκάνθηκε!

batman1986 είπε...

@ Γιώργος Ριζόπουλος

Nαι δεν αντιλέγω.Παρουσιάζω απλά το πως το σκέφτηκα στο site που το είχα δει.Το τόνισα εξάλλου ότι δεν πρόσεξες το προς "μια κατεύθυνση".Κατα τα άλλα είναι ισοδύναμες οι λύσεις....

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes