Ποιο είναι το υπόλοιπο;

 

Όταν ο 1001 διαιρεθεί με έναν συγκεκριμένο μονοψήφιο φυσικό αριθμό, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 5. Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 2006 δια του ίδιου αυτού μονοψήφιου φυσικού αριθμού; (Κατ.1/Νο.127)
Πηγή:http://nikos-kritikos.blogspot.gr/2012/02/blog-post_13.html

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Το ζητούμενο υπόλοιπο είναι ο αριθμός 2. Αιτιολόγηση: Εφόσον το 1001 διαιρούμενο με ένα μονοψήφιο αριθμό δίνει υπόλοιπο 5, το 1996=1001-5 διαιρείται ακριβώς με τον ίδιο μονοψήφιο, που οφείλει να είναι μεγαλύτερος από τον 5 (το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη). Ο μόνος αριθμός που πληρεί αυτές τις προϋποθέσεις είναι ο 6, (1996/6=166). Επομένως το 2006 διαιρούμενο με το 6 δίνει υπόλοιπο 2 (2006=336*6+2). Ή Ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι: Δ = [(δ*π )+ υ] (α) Εύρεση του υπολοίπου του αριθμού 1.001. Βάσει του ανωτέρω τύπου έχουμε: 1.001=[(α*π)+υ] (1) όπου «υ» ο αριθμός μεταξύ του 0 και του «α». Επειδή το υπόλοιπο είναι 5, ο διαιρέτης «α» θα είναι μεγαλύτερος του 5 και αφού είναι μονοψήφιος θα είναι: 6 ή 7 ή 8 ή 9. Για της διάφορες τιμές του «α» ο τύπος (1) δίνει: 1.001=[(α*π)+υ] --> 1.001=[(6*166)+5] 1.001=[(α*π)+υ] --> 1.001=[(7*143)+0] 1.001=[(α*π)+υ] --> 1.001=[(8*125)+1] 1.001=[(α*π)+υ] --> 1.001=[(9*111)+2] Από τις ανωτέρω διαιρέσεις μόνο η πρώτη δίνει υπόλοιπο 5. Άρα α = 5. (β) Εύρεση του υπολοίπου του αριθμού 2.006. Βάσει του ανωτέρω τύπου έχουμε: 2.006=[(α*π)+υ] (1) 2.006=[(α*π)+υ] --> 2.006=[(6*334)+2] Άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 2.006 με τον ίδιο μονοψήφιο αριθμό είναι ο αριθμός 2.