Οι Αριθμοί

Ο Γιάννης λέει στη Μαρία: 

-«Έχω σκεφτεί δύο ακέραιους αριθμούς χ και y που είναι τέτοιοι ώστε, αν
μειώσω τον χ κατά 50 και αυξήσω τον y κατά 40, τότε το γινόμενο τους
δεν μεταβάλλεται.»

Η Μαρία ρωτάει το Γιάννη:

-«Εάν αυξήσεις τον αριθμό χ κατά 100 και μειώσεις τον αριθμό y κατά 20,
τότε πάλι το γινόμενο τους δεν μεταβάλλεται;»

Ο Γιάννης απαντάει:

-«Πράγματι, αυτό ισχύει.» 

Η Μαρία καταλήγει:

-«Τότε γνωρίζω τους αριθμούς που σκέφθηκες.»

Έχει δίκιο η Μαρία; Εσείς μπορείτε να βρείτε τους αριθμούς που σκέφθηκε
ο Γιάννης;

Πηγή:68ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ''Ο ΘΑΛΗΣ" 2007 - Α' τάξη Λυκείου

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2017/10/blog-post_56.html

Λύση

Ναι, η Μαρία έχει δίκιο. Οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης είναι ο αριθμός 100 και ο αριθμός 40. Έστω» «x» και «y» οι αριθμοί που σκέφθηκε ο Γιάννης. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
(x-50)*(y+40)=x*y (1)
(x+100)*(y-20)=x*y (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(x-50)*(y+40)=xy ---> x*y-50y+40x-2.000=x*y ---> 40x-50y=x*y-x*y+2.000 ---> 40x-50y=2.000 (3)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
(x+100)*(y-20)=x*y ---> x*y+100y-20x-2.000=x*y ---> 100y-20x=x*y-x*y+2.000 ---> 100y-20x=2.000 (4)
Πολλαπλασιάζουμε τα δύο μέλη της (3) με τον αριθμό 2 κι’ έχουμε:
40x-50y=2.000 ---> 2*(40x-50y)=2.000*2 ---> 80x-100y=4.000 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις (4) και (5) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000
80x-100y=4.000
80x-20x+100y-100y=6.000 ---> 60x=6.000 ---> x=6.000/60 --->
x=100 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (4) κι’ έχουμε:
100y-20x=2.000 ---> [100y-(20*100)]=2.000 --->
100y-2.000=2.000 ---> 100y=2.000+2.000 ---> 100y=4.000 --->
y=4.000/100 ---> y=40 (7)
Επαλήθευση:
(x-50)*(y+40)=x*y ---> (100-50)*(40+40)=100*40 ---> 50*80=4.000
(x+100)*(y-20)=x*y ---> (100+100)*(40-20)=100*40 ---> 200*20=4.000 ο.ε.δ.

Η Ποσότητα

Οι  εφτά νάνοι κάθονται σ’ ένα στρογγυλό τραπέζι και ο καθένας έχει μια κούπα μπροστά του. Κάποιες κούπες έχουν γάλα. Κάθε νάνος με τη σειρά, μοιράζει το γάλα του εξίσου στους υπόλοιπους έξι. Αφού τελειώσουν, διαπιστώνουν ότι κάθε κούπα έχει την αρχική ποσότητα. Πόσο γάλα έχει κάθε κούπα, εάν η συνολική ποσότητα είναι 42 ουγγιές;

Πηγή:http://kolount.wordpress.com/2012/11/28/οι-εφτά-νάνοι

Λύση

Η κάθε κούπα έχει:
O 1os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-1)*(42/21) = 6*(42/21) = 6*2 = 12 oz γάλα
O 2os νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-2)*(42/21) = 5*(42/21) = 5*2 = 10 oz γάλα
Ο 3ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-3)*(42/21) = 4*(42/21) = 4*2 = 8 oz γάλα
Ο 4ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-4)*(42/21) = 3*(42/21) = 3*2 = 6 oz γάλα
Ο 5ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-5)*(42/21) = 2*(42/21) = 2*2 = 4 oz γάλα
Ο 6ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-6)*(42/21) = 1*(42/21) = 1*2 = 2 oz γάλα
Ο 7ος νάνος έχει (7-n)*(42/21) = (7-7)*(42/21) = 0*(42/21) = 0*2 = 0 oz γάλα
Γενικά:
Ο n-οστός νάνος έχει (7-n)*(42/21) oz γάλα

Περιπτεράς και Ανέντιμος Πελάτης

Πρωί – πρωί κάποιος σταματάει σ’ ένα περίπτερο ν’ αγοράσει τσιγάρα, έναν
αναπτήρα, μερικά περιοδικά, και μια εφημερίδα.

Μόλις τα παίρνει ο πελάτης ακολουθεί η εξής στιχομυθία:

Πελάτης: «Τι οφείλω;»

Περιπτεράς: «12€».

Βγάζει ο πελάτης και δίνει στο περιπτερά ένα χαρτονόμισμα των 50€.

Περιπτεράς: «Αμάν, πρωΐ- πρωΐ που να βρω ψιλά. Περίμενε να στείλω τον γιό μου δίπλα στο Φαρμακείο να το αλλάξει, γιατί δεν έχω ψιλά.»

Σχεδόν αμέσως ο γιος του επιστρέφει με τα ψιλά, παίρνει ο πελάτης τα ρέστα των 38€, και φεύγει. Όμως, σχεδόν ταυτόχρονα, ο φαρμακοποιός από δίπλα βγαίνει από το φαρμακείο κρατώντας το χαρτονόμισμα των 50€ και λέει στον περιπτερά:

Φαρμακοποιός: «Γιώργο, το χαρτονόμισμα των 50€ που μου έφερε ο γιος σου  είναι πλαστό.»

Περιπτεράς: «Πλαστό; Α, τον άτιμο!!»

Ο περιπτεράς βγάζει από το συρτάρι του ένα γνήσιο χαρτονόμισμα των 50€, το δίνει στον φαρμακοποιό και παίρνει το πλαστό με σκοπό να κάνει (ίσως) καταγγελία στην αστυνομία.

Ερώτημα:

Πόσα χρήματα έχασε ο περιπτεράς από αυτή την συναλλαγή;

Λύση

Έχασε 38€ και τα είδη που έδωσε στον ...πελάτη.

Τα Βιβλία

Σε ένα φεστιβάλ βιβλίου μοιράστηκαν 124 παραμύθια και 93 μυθιστορήματα. Κάθε δύο παιδιά που συμμετείχαν, πήραν ίσο αριθμό παραμυθιών και ίσο αριθμό
μυθιστορημάτων. Πόσα βιβλία πήρε το κάθε παιδί;

Λύση

Υπάρχουν 31 ζεύγη παιδιών και το κάθε ζεύγος παιδιών πήρε από 4 παραμύθια και από 3 μυθιστορήματα. Έστω «α» τα ζεύγη των παιδιών, «x» τα παραμύθια και «y» τα μυθιστορήματα που παίρνει το κάθε ζεύγος παιδιών. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
x+y=124+93=217 (1)
α*(x+y)=124+93=217 (2)
Αναλύουμε τους αριθμούς 124 και 93 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
124=2^*31=4*31 (3)
93=3*31 (4)
Ο αριθμός 31, που είναι κοινός και στα δύο γινόμενα των πρώτων παραγόντων, αντιστοιχεί στα ζεύγη των παιδιών.
Οι αριθμοί 4 και 3 αντιστοιχούν στα παραμύθια και τα μυθιστορήματα που πήρε κάθε ζεύγος παιδιών. Αντικαθιστούμε τις (3) και (4) στη (2) κι’ έχουμε:
α*(χ+ψ)=124+93=31*4+31*3=31*(4+3)

Οι Μπάλες

O Ζήνων έχει 4 κουτιά, βλέπε ανωτέρω σχήμα. Τοποθετεί στο κουτί (α) ν μπάλες. Στην συνέχεια ακολουθεί τα πιο κάτω βήματα:

• Βάζει τις μισές μπάλες από το (α) στο (β).
• Βάζει τις μισές μπάλες από το (β) στο (γ).
• Βάζει τις μισές μπάλες από το (α) στο (γ).
• Βάζει όλες τις μπάλες από το (α) στο (δ).
• Βάζει τις μισές μπάλες από το (γ) στο (α).

Σε ποιο κουτί βρίσκονται οι περισσότερες μπάλες:

Λύση

Σε κανένα κουτί δεν υπάρχουν περισσότερες μπάλες. Τελικά όλα τα κουτιά περιέχουν το ίδιο αριθμό από μπάλες μετά την κατανομή. Όλα τα κουτιά θα περιέχουν από δύο μπάλες.
Παραδείγματος Χάριν:
Οι μπάλες που θα περιέχει το κουτί «α» πρέπει να είναι ένας άρτιος
αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος του 4.
Έστω ότι το κουτί «α» περιέχει 8 μπάλες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α = 8 – 4 μπάλες στο κουτί «β» = υπόλοιπο 4 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «γ» = υπόλοιπο 2 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «δ» = υπόλοιπο 0 + 2 μπάλες από το κουτί «γ» = 2 μπάλες.
β = 4 μπάλες από το κουτί «α» - 2 μπάλες στο κουτί «γ»= υπόλοιπο 2 μπάλες.
γ = 2 μπάλες από το κουτί «β» + 2 μπάλες από το κουτί «α» = 4 μπάλες – 2 μπάλες στο κουτί «α» = υπόλοιπο 2 μπάλες.
δ= 2 μπάλες από το κουτί «α».

Γιορτές Κρασιού και Πιθανότητες!

Κατά τη γιορτή του κρασιού πολλοί κάτοικοι ενός χωριού έχουν συγκεντρωθεί στο χώρο της γιορτής και δοκιμάζοντας εκεί τα διάφορα κρασιά δωρεάν έχουν έρθει σε κατάσταση μέθης, ώστε να μην ξέρουν που πηγαίνουν. Με τις συνθήκες αυτές, ποια είναι η πιθανότητα κατά την επιστροφή τους να μη βρει κανείς το σπίτι του, αλλά να μπουν όλοι σε ξένα σπίτια;

Διευκρίνιση:

Υποθέτουμε ότι από κάθε σπίτι συμμετέχει ένα άτομο και όλες 
οι περιπτώσεις είναι ισοπίθανες.
Πηγή:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2017/09/blog-post.html

Λύση

Η πιθανότητα κατά την επιστροφή τους να μη βρει κανείς το σπίτι του, αλλά να μπουν όλοι σε ξένα σπίτια είναι περίπου 36,7%.

Όπου e= 2,71828 (μαθηματική σταθερά)

Τα Μίλια

Δύο ταχυδρόμοι, ο Α και ο Β, απέχουν 59μίλια ο ένας από τον άλλο και ξεκινούν το πρωί το ταξίδι για να συναντηθούν. Ο Α διανύει 7μίλια μέσα σε δύο ώρες και ο Β διανύει 8 μίλια μέσα σε τρεις ώρες. Εάν ο Β ξεκινάει το ταξίδι του μία ώρα αργότερα σε σχέση με τον Α, πόσα μίλια θα έχει διανύσει ο Α μέχρι να συναντήσει τον Β;

Λύση

Ο «Α» μέχρι να συναντήσει τον «Β» θα έχει διανύσει 35μίλια. Έστω «x» τα μίλια που θα έχει διανύσει ο Α μέχρι να συναντήσει τον Β, οπότε (59 − x) είναι τα μίλια που θα διανύσει ο Β μέχρι το σημείο συνάντησης. Ο Α ταξιδεύει 7μίλια μέσα σε 2 ώρες, οπότε τα «x» μίλια θα τα διανύσει σε (2x)/7 ώρες. Ο Β ταξιδεύει 8μίλια μέσα σε 3 ώρες, οπότε τα (59−x) μίλια θα τα διανύσει σε:
[3*(59-x)/8]=(177-3x)/8 ώρες (1).
Ωστόσο ο ταχυδρόμος Β σύμφωνα με την εκφώνηση ξεκινάει μία ώρα αργότερα από τον Α, οπότε:
1+(177-3x)/8=(2x)/7 (2)
1+(177-3x)/8=(2x)/7 ---> [8*1+(177-3x)]/8=(2x)/7 ---> [8+(177-3x)]/8=(2x)/7 ---> [7*(8+177-3x)]=8*2x ---> 7*(185-3x)=8*2x ---> 1.295-21x=16x ---> 16x+21x=1.295 ---> 37x=1.295 ---> x=1.295/37 ---> x=35
∆ηλαδή, ο Α θα διανύσει 35μίλια μέχρι να συναντήσει τον Β.
Διευκρίνιση:
Από το βιβλίο του Claude -Gaspard Bachet (1581-1638) με τίτλο «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres», 1612. Πρόκειται για την πρώτη συλλογή διασκεδαστικών μαθηματικών που τυπώθηκε. Τα αριθμητικά προβλήματα που περιλαμβάνει δεν είναι όλα πρωτότυπα, κάποια είναι παρμένα από προγενέστερες συλλογές όπως η Παλατινή Ανθολογία και οι συλλογές του Αλκουίνου, του Μοσχόπουλου και του Tartalia