Η Απόσταση IV

Σε μια πάροδο ανάμεσα σε δύο σπίτια υπάρχουν δύο σκάλες που στηρίζονται στα 

δύο σπίτια. Η απόσταση ΑΔ είναι 8μ. και η απόσταση ΓΒ είναι 10 μ. Οι σκάλες 

διασταυρώνονται σε ύψος 4μ. από το έδαφος. Πόσο απέχουν τα δύο σπίτια;  

 Λύση

Τα δύο σπίτια απέχουν περίπου 3,8μ. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ, που σχηματίζουν οι σκάλες, βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος έχουμε:
(ΑΓ)^2=(ΔΓ)^2-(ΑΒ)^2 ----> (ΑΓ)^2=10^2-α^2 (1)
(ΑΓ)^2=(ΑΔ)^2-(ΓΔ)^2 ----> (ΑΓ)^2=8^2-β^2 (2)
Επειδή οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ίσες έχουμε:
(ΑΓ)^2=10^2-α^2=8^2-β^2 ----> 10^2-8^2=α^2-β^2 ----> α^2-β^2=100-64 ----> α^2-β^2=36 (3)
Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ συνάγουμε ότι:
4/α=q/(p+q) (4)
4/β=p/(p+q) (5)
Αθροίζουμε κατά μέλη τις (4) και (5) κι’ έχουμε:
4/α+4/β= q/(p+q)+ p/(p+q) ----> 4/α+4/β=1 (6)
Από την (6) συνάγουμε ότι:
4/α+4/β=1 ----> 4β+4α=1*αβ ----> 4α=αβ-4β ---->
4α=β*(α-4) ----> β=4α/(α-4) (7)
Αντικαθιστούμε την (7) στη (3) κι’ έχουμε:
α^2-β^2=36 ----> α^2-[4α/(α-4)]^2=36 ---->
α^2-[4^2α^2/(α-4)^2]^2=36 ----->
α^2-[16α^2/(α^2-2*4α+4^2]=36 ----->
α^2-[16α^2/(α^2-8α+16]=36 ----->
α^2*( α^2-8α+16)-16α^2=36*( α^2-8α+16) ---->
α^4-8α^3+16α^2-16α^2=36α^2-288α+576 ----> α^4-8α^3-36α^2+288α-576=0
Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε ότι η ΑΓ ισούται με ≈ 3,8μ.