Τα Μέλη

Υπήρχαν δύο συνεταιρισμοί εκ των οποίων ο ένας είχε τρία μέλη περισσότερα από τον άλλο. Μοίρασαν ίσο αριθμό χρυσών νομισμάτων μεταξύ των μελών τους. Ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων, που ήταν για μοίρασμα, σε κάθε περίπτωση ήταν 93 περισσότερο από το σύνολο των μελών των δύο συνεταιρισμών και τα μέλη του μικρότερου συνεταιρισμού έλαβαν 6 χρυσά νομίσματα περισσότερα από τα μέλη του μεγαλύτερου συνεταιρισμού. Πόσα μέλη είχε ο κάθε συνεταιρισμός;

Πηγή:

Από το βιβλίο του Ιταλού γιατρού Girolamo Cardano (1501-1576) με τίτλο «Artis Magnæ», 1545.

Λύση

Ο ένας συνεταιρισμός έχει 6 μέλη και ο άλλος έχει 9 μέλη. Έστω «x» τα μέλη του πρώτου συνεταιρισμού και «x+3» τα μέλη του δεύτερου συνεταιρισμού. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξής εξίσωση:
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) (1)
(2x+3+93)/x=6+(2x+3+93)/(x+3) ----> (2x+3+93)/x=[6(x+3)+(2x+3+93)]/(x+3) ---->
(2x+3+93)/x=(6x+18+2x+3+93)/(x+3) ---->
(x+3)*(2x+96)=x*(8x+114) ----> 2x^2+96x+6x+288=8x^2+114x ---->
8x^2+114x-2x^2-96x-6x-288=0 ----> 6x^2+12x-288=0 (2)
Βάσει του τύπου x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
x={-β±sqrt[(β^2)-4αγ]/2α ----> x=(-12±sqrt[(12^2)-4*6*(-288)]/2*6 ---->
x=(-12±sqrt[144+ 6.912]/12 ----> x=(-12±sqrt[7.056]/12 ---->
x=(-12± 84)/12
x1= (-12+84)/12 ----> x1=72/12 ----> x1=6 Αποδεκτή. (3)
x2=(-12-84)/12 ----> x2=(-96)/12 ----> x2= - 8 Απορρίπτεται.
Επαλήθευση:
6x^2+12x-288=0 ----> 6*6^2+12*6-288=0 ----> 216+72-288=0