Παρασκευή, 12 Οκτωβρίου 2018

Τα Κέρματα

Εάν από τέσσερις ανθρώπους:
(α) Ο πρώτος, ο δεύτερος, και ο τρίτος όλοι μαζί είχαν 34 χρυσά νομίσματα.
(β) Ο πρώτος, ο δεύτερος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 73 χρυσά νομίσματα.
(γ) Ο πρώτος, ο τρίτος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 72 χρυσά νομίσματα.
(δ) Ο δεύτερος, ο τρίτος, και ο τέταρτος όλοι μαζί είχαν 88 χρυσά νομίσματα.
Πόσα χρυσά νομίσματα είχε ο καθένας; Και πόσα ήταν συνολικά.
Πηγή:
Από το βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) «Liber Abbaci = Βιβλίο    Άβακος= Εγχειρίδιο    Αριθμητικής, 1202, β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια.», το οποίο  ο Gerolamo Cardano το συμπεριέλαβε στο βιβλίο του: Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis (The Practice of Arithmetic and  Simple Mensuratio), 1539 
https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-gerolamo-cardanos-practica-arithmetice 
Λύση
Συνολικά ήταν 89 χρυσά νομίσματα. Ο πρώτος είχε 1 χρυσό νόμισμα, ο δεύτερος είχε 17 χρυσά νομίσματα, ο τρίτοε είχε 16 χρυσά νομίσματα, και ο τέταρτος είχε 55 χρυσά νομίσματα. Έστω α, β, γ, και δ οι τέσσερις άνθρωποι. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις:
α+β+γ+δ=? (1)
α+β+γ=34 (2)
α+β+δ=73 (3)
α+γ+δ=72 (4)
β+γ+δ=88 (5)
Προσθέτουμε κατά μέλη τις (2), (3), (4), και (5) κι’ έχουμε:
α+β+γ=34
α+β+δ=73
α+γ+δ=72
β+γ+δ=88
3*(α+β+γ+δ)=267 ----> α+β+γ+δ=267/3 -----> α+β+γ+δ=89 (6)
Αντικαθιστούμε τις (2), (3), (4), και (5) στην (6) κι’ έχουμε:
α+β+γ+δ=89 ----> 34+δ=89 ----> δ=89-34 ----> δ=55
α+β+γ+δ=89 ----> 73+γ=89 ----> γ=89-73 -----> γ=16
α+β+γ+δ=89 ----> 72+β=89 ----> β=89-72 ----> β=17
α+β+γ+δ=89 ----> α+88=89 ----> α=89-88 ----> α=1
Επαλήθευση:
α+β+γ+δ=? -----> 1+17+16+55=89 (?)
Ο Cardano προσθέτει απλώς τους τέσσερις αριθμούς μαζί, σημειώνοντας ότι το σύνολο 267, είναι ίσο με το τριπλάσιο του συνόλου. Ως εκ τούτου, ο συνολικός αριθμός των χρυσών νομισμάτων είναι 89 και είναι εύκολο να υπολογιστεί ο αριθμός των χρυσών νομισμάτων που είχε ο καθένας.

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Έστω Α,Β,Γ,Δ τα χρυσά νομίσματα των 4 ανθρώπων αντίστοιχα.
α,β)=>Δ=Γ+39
β,γ)=>Γ=Β-1
δ)=>Γ+1+Γ+Γ+39=88=>Γ=48/3=16
Άρα Β=17, Α=1, Δ=55

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes