Η Απόσταση ΙΙ

Στο ανωτέρω σχήμα οι ΑΔ και ΒΓ είναι κάθετες στη ΑΒ με ΑΒ=3εκ., ΑΓ=4εκ., και  ΒΔ=5εκ. Να βρεθεί πόσο απέχει το σημείο Ε από την ευθεία ΑΒ.

Πηγή: Άσκηση από διαγωνισμό του Α.Σ.Ε.Π

Λύση

Το σημείο Ε απέχει από την ευθεία ΑΒ 1,5924εκ. Έστω «α» εκ. η κάθετος ΒΓ, «β» εκ. η κάθετος ΑΔ. Και ΕΚ το ύψος. Βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκουμε τις διαστάσεις των καθέτων στην ΑΒ, (ΑΔ) και (ΒΓ). (α)Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε:
ΑΓ^2=ΒΓ^2+ΑΒ^2 ----> ΒΓ^2=ΑΓ^2-ΑΒ^2 ----> ΒΓ^2=4^2-3^2 ----> ΒΓ^2=16-9 ----> ΒΓ^2=7
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στη τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
ΒΓ^2=7 ----> sqrt(ΒΓ^2)=sqrt(7) ----> ΒΓ = α = sqrt(7)εκ. 1)
(β)Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ έχουμε:
ΔΒ^2=ΑΔ^2+ΑΒ^2 -----> ΑΔ^2=ΔΒ^2-ΑΒ^2 ----> ΑΔ^2=5^2-3^2 ---->
ΑΔ^2=25-9 ----> ΑΔ^2=16
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στη τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
ΑΔ^2=16 ----> sqrt(ΑΔ^2)=sqrt(16) ----> ΑΔ = β = 4εκ. (2)
Βάσει του τύπου υ=(α*β)/(α+β) βρίσκουμε την απόσταση του σημείου Ε από την ευθεία ΑΒ.
ΕΚ = υ =(α*β)/(α+β) ----> ΕΚ = υ =(ΒΓ*ΑΔ/(ΒΓ+ΑΔ) ---->
ΕΚ = υ = [[sqrt(7)*4]/[sqrt7+4] ---->
ΕΚ = υ =(2,64575*4)/( 2,64575+4) ---->
ΕΚ = υ= 10,583/6,64575 ----> ΕΚ = υ = 1,5924 εκ. (3)