Οι Ηλικίες

Η κ. Τούλα έχει τρία παιδιά, ενώ η φίλη της η κ. Μαριέττα έχει τέσσερα παιδιά. Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών και των μητέρων είναι 23.870.

Να βρεθούν:

α) Οι ηλικίες των παιδιών και των μητέρων.

β) Τι ηλικία είχαν οι δύο μητέρες όταν γέννησαν  το μεγαλύτερο παιδί;

Διευκρίνιση: 

Όλα τα παιδιά πάνε σχολείο, εκτός από το μικρότερο παιδί της Μαριέττας.(Κατ.10/Νο.75)

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 23.870 με διαδοχικές διαιρέσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (ή αριθμών) και βρίσκουμε 23.870 = 2*5*7*11*31 α) Επειδή η κ. Τούλα έχει τρία παιδιά που πάνε σχολείο οι ηλικίες τους είναι 5, 7, και 11 αντίστοιχα. Ενώ οι ηλικίες των παιδιών της Μαριέττας, που είναι τέσσερα, είναι 2, 5, 7, και 11 αντίστοιχα, εκ των οπίων τα τρία πάνε σχολείο ενώ το μικρότερο όχι. β) Οι ηλικίες των μητέρων και στις δύο περιπτώσεις είναι 31 ετών, άρα συνομήλικες. Το μεγαλύτερο παιδί το γέννησαν και οι δύο μητέρες σε ηλικία: 31-11=20 ετών. Λύση του Ανώνυμου. Έστω Α η ηλικία της κ. Τούλας και γ, δ, ε των τριών παιδιών της, Β η ηλικίας της κ. Μαριέττας και ζ, η, θ, ι η ηλικία των τεσσάρων παιδιών της. Θα είναι επίσης: Α,Β, μεγαλύτερο του 18, 18 μεγαλύτερο ή ίσο των γ,δ,ε,ζ,η,θ μεγαλύτερο ή ίσο του 5, και "ι" μικρότερο του 5, αφού ένα παιδί φοιτεί υποχρεωτικά 10 έτη στο σχολείο (Νηπιαγωγείο, Δημοτικό, Γυμνάσιο) και 3 έτη στο Λύκειο. Θεωρούμε ότι δεν έχουν μείνει σε κάποια τάξη. Όλες οι ηλικίες θεωρούνται θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Πρέπει (από την εκφώνηση) να ισχύουν: Α*γ*δ*ε=23.870 (1) και Β*ζ*η*θ*ι=23.870 (2) Πρέπει λοιπόν όλες οι ηλικίες να είναι διαιρέτες του 23.870. Διαιρέτες του 23.870, άρα και πιθανές ηλικίες, είναι οι εξής: 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 31, 35, 55,... Επίσης, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών του 23.870 είναι: 2*5*7*11*31=23.870. Αυτοί οι αριθμοί, μπορούν να αποτελέσουν και λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=7, θ=5 και ι=2). Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 1*7*10*11*31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=10, θ=7 και ι=1). Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 1*5*11*14*31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=14, η=11, θ=5 και ι=1). Για την κ. Τούλα τώρα έχουμε: 5*11*14*31=23.870 που είναι η μοναδική δεκτή λύση (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5). Επίσης έχουμε ότι η κ. Τούλα γέννησε το πρώτο της παιδί στα 17 της και η κ. Μαριέττα στα 17 ή στα 20 της, ανάλογα με το ποια λύση δεχόμαστε. Σημείωση: Εάν πάρουμε διαφορετικό περιορισμό και αγνοήσουμε το νηπιαγωγείο, υποθέσουμε δηλαδή ότι η ηλικία όλων των παιδιών, που πηγαίνουν σχολείο είναι μεταξύ 6 και 18 ετών, τότε και για την κυρία Μαριέττα προκύπτει μία και μοναδική λύση την (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5).