Παρασκευή, 19 Σεπτεμβρίου 2014

Οι Ηλικίες

Η κ. Τούλα έχει τρία παιδιά, ενώ η φίλη της η κ. Μαριέττα έχει τέσσερα παιδιά. Γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών και των μητέρων είναι 23.870.
Να βρεθούν:
α) Οι ηλικίες των παιδιών και των μητέρων.
β) Τι ηλικία είχαν οι δύο μητέρες όταν γέννησαν  το μεγαλύτερο παιδί;
Διευκρίνιση: 
Όλα τα παιδιά πάνε σχολείο, εκτός από το μικρότερο παιδί της Μαριέττας.(Κατ.10/Νο.75)

Λύση

Αναλύουμε τον αριθμό 23.870 με διαδοχικές διαιρέσεις σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (ή αριθμών) και βρίσκουμε 23.870 = 2*5*7*11*31 α) Επειδή η κ. Τούλα έχει τρία παιδιά που πάνε σχολείο οι ηλικίες τους είναι 5, 7, και 11 αντίστοιχα. Ενώ οι ηλικίες των παιδιών της Μαριέττας, που είναι τέσσερα, είναι 2, 5, 7, και 11 αντίστοιχα, εκ των οπίων τα τρία πάνε σχολείο ενώ το μικρότερο όχι. β) Οι ηλικίες των μητέρων και στις δύο περιπτώσεις είναι 31 ετών, άρα συνομήλικες. Το μεγαλύτερο παιδί το γέννησαν και οι δύο μητέρες σε ηλικία: 31-11=20 ετών. Λύση του Ανώνυμου. Έστω Α η ηλικία της κ. Τούλας και γ, δ, ε των τριών παιδιών της, Β η ηλικίας της κ. Μαριέττας και ζ, η, θ, ι η ηλικία των τεσσάρων παιδιών της. Θα είναι επίσης: Α,Β, μεγαλύτερο του 18, 18 μεγαλύτερο ή ίσο των γ,δ,ε,ζ,η,θ μεγαλύτερο ή ίσο του 5, και "ι" μικρότερο του 5, αφού ένα παιδί φοιτεί υποχρεωτικά 10 έτη στο σχολείο (Νηπιαγωγείο, Δημοτικό, Γυμνάσιο) και 3 έτη στο Λύκειο. Θεωρούμε ότι δεν έχουν μείνει σε κάποια τάξη. Όλες οι ηλικίες θεωρούνται θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Πρέπει (από την εκφώνηση) να ισχύουν: Α*γ*δ*ε=23.870 (1) και Β*ζ*η*θ*ι=23.870 (2) Πρέπει λοιπόν όλες οι ηλικίες να είναι διαιρέτες του 23.870. Διαιρέτες του 23.870, άρα και πιθανές ηλικίες, είναι οι εξής: 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 31, 35, 55,... Επίσης, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών του 23.870 είναι: 2*5*7*11*31=23.870. Αυτοί οι αριθμοί, μπορούν να αποτελέσουν και λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=7, θ=5 και ι=2). Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 1*7*10*11*31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=10, θ=7 και ι=1). Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 1*5*11*14*31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=14, η=11, θ=5 και ι=1). Για την κ. Τούλα τώρα έχουμε: 5*11*14*31=23.870 που είναι η μοναδική δεκτή λύση (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5). Επίσης έχουμε ότι η κ. Τούλα γέννησε το πρώτο της παιδί στα 17 της και η κ. Μαριέττα στα 17 ή στα 20 της, ανάλογα με το ποια λύση δεχόμαστε. Σημείωση: Εάν πάρουμε διαφορετικό περιορισμό και αγνοήσουμε το νηπιαγωγείο, υποθέσουμε δηλαδή ότι η ηλικία όλων των παιδιών, που πηγαίνουν σχολείο είναι μεταξύ 6 και 18 ετών, τότε και για την κυρία Μαριέττα προκύπτει μία και μοναδική λύση την (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5).

5 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Έστω Α η ηλικία της κ. Τούλας, Β η ηλικία της κ. Μαριέττας και γ, δ, ε οι ηλικίες των τριών παιδιών της κ. Τούλας, από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο και ζ, η, θ, ι των παιδιών της κ. Μαριέττας.
Θεωρώντας ότι κανένα παιδί δεν έχει μείνει σε κάποια τάξη, οπότε θα είναι:
18>=γ,δ,,>=5 και
18>=ζ,η,θ>=5>ι
Α,Β>18
Επίσης οι Α, Β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι είναι θετικοί ακέραιοι.

Θα είναι Αxγxδxε=23.870 και Βxζxηxθxι=23.870
Πρέπει όλοι οι αριθμοί του γινομένου να είναι και διαιρέτες του 23.870.
Οι διαιρέτες του 23.870 είναι:
1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 20, 22, 31, 35, 55,...
Επομένως:
ι=1, 2
γ, δ, ε, ζ, η, θ=5, 7, 10, 11, 14
Α, Β=20, 22, 31, 35, 55

Για ι=2 έχουμε:
Βxζxηxθ=23.870/2=11.935 που έχει διαιρέτες 1, 5, 7, 11, 31, 35,...
και ισχύει και ότι:
31x11x7x5=11.935, άρα μπορούμε να πούμε ότι τα παιδιά της κ. Μαριέττας έχουν ηλικίες:
ζ=11, η=7, θ=5 και ι=2. Προφανώς Β=31.

Για την κ. Τούλα και τα παιδιά της ισχύει:
Αxγxδxε=23.870.
Από τα ανωτέρω ξέρουμε ότι:
2x5x7x11x31=23.870 ή
5x11x14x31=23.870, άρα έχουμε:
Α=31, β=14, γ=11 και δ=5

***Δε γίνεται να είναι η κ Τούλα 35, διότι τότε θα ήταν δ=2, άτοπο, αφού δ>=5.

Συνοψίζοντας:
κ. Τούλα, 31 ετών με τρία παιδιά, 14, 11 και 5 ετών. Το μεγαλύτερο παιδί το έκανε στα 17 της.
κ. Μαριέττα, 31 ετών επίσης με τέσσερα παιδιά, 11, 7, 5 και 2 ετών. το μεγαλύτερο παιδί το έκανε στα 20 της.

!Σημ. Θεωρήθηκε ότι τα παιδιά φοιτούν σε 13ετή υποχρεωτική εκπαίδευση (Νήπιο, Δημοτικό, Γυμνάσιο, Λύκειο).

Ανώνυμος είπε...

Επειδή δεν εμφανίζεται το σχόλιο, το ξαναστέλνω, λίγο διορθωμένη.

Έστω Α η ηλικία της κ. Τούλας και γ, δ, ε των τριών παιδιών της, Β η ηλικίας της κ. Μαριέττας και ζ, η, θ, ι η ηλικία των τεσσάρων παιδιών της. Θα είναι επίσης:
Α,Β>18
18>=γ,δ,ε,ζ,η,θ>=5 και ι<5, αφού ένα παιδί φοιτεί υποχρεωτικά 10 έτη στο σχολείο (Νηπιαγωγείο, Δημοτικό, Γυμνάσιο) και 3 στο Λύκειο. Θεωρούμε ότι δεν έχουν μείνει σε κάποια τάξη.
Όλες οι ηλικίες θεωρούνται θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Πρέπει (από εκφώνηση) να ισχύουν:
Αxγxδxε=23.870 (1) και
Βxζxηxθxι=23.870 (2)

Πρέπει λοιπόν όλες οι ηλικίες να είναι διαιρέτες του 23.870. Διαιρέτες του 23.870, άρα και πιθανές ηλικίες, είναι οι εξής: 1, 2, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 31, 35, 55,...
Επίσης, η ανάλυση σε γινόμενο πρώτων αριθμών του 23.870 είναι:
2x5x7x11x31=23.870.
Αυτοί οι αριθμοί, μπορούν να αποτελέσουν και λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=7, θ=5 και ι=2).
Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής:
1x7x10x11x31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=11, η=10, θ=7 και ι=1).
Το παραπάνω γινόμενο μπορεί να γραφτεί και ως εξής:
1x5x11x14x31=23.870 που αποτελεί επίσης λύση για την οικογένεια της κ. Μαριέττας (Β=31, ζ=14, η=11, θ=5 και ι=1).
Για την κ. Τούλα τώρα έχουμε:
5x11x14x31=23.870 που είναι η μοναδική δεκτή λύση (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5).
Επίσης έχουμε ότι η κ. Τούλα γέννησε το πρώτο της παιδί στα 17 της και η κ. Μαριέττα στα 17 ή στα 20 της, ανάλογα με το ποια λύση δεχόμαστε.

Σημ. Αν πάρουμε διαφορετικό περιορισμό και αγνοήσουμε το νηπιαγωγείο, υποθέσουμε δηλαδή ότι η ηλικία όλων των παιδιών, που πηγαίνουν σχολείο είναι μεταξύ 6 και 18 ετών, τότε και για την κυρία Μαριέττα προκύπτει μία και μοναδική λύση την (Α=31, γ=14, δ=11, ε=5).

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Ναι, το πρώτο σχόλιο είχε λάθος. Το δεύτερο σχόλιο είναι το σωστό. Η αργοπορία της εμφάνησης των σχολίων οφείλεται στ' ότι αφήνω περιθώριο μια ημέρα για ν' απαντήσει και κάποιος άλλος.

Ανώνυμος είπε...

OK. Συνειδητοποίησα κι εγώ το λάθος και στη διατύπωση στο πρώτο σχόλιο. Παρεμπιμπτόντως, συγχαρητήρια για το ιστολόγιό σας, έχει εξαιρετικό περιεχόμενο.

Papaveri είπε...

@Ανώνυμος
Σας ευχαριστώ για το σχόλιο σας. Θα προτιμούσα μιας και θα συμμετέχετε κι' εσείς στις λύσεις ν' αναφέρεστε με τ' όνομά σας, για να έχουμε μια πιο φιλική προσέγγιση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes