Μαθηματικό Κουΐζ

Ο σημερινός γρίφος έχει σχέση με καθαρά μαθηματικές γνώσεις. 
I)Ποιο από τα παρακάτω κανονικά πολύγωνα δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη; 
a) 5-γωνο

b) 6-γωνο

c) 7 - γωνο

d) 9 - γωνο

e) 10-γωνο

f) 12 - γωνο

g) 17 – γωνο

h) 65.537 – γωνο 
II)Ποια είναι η χαρακτηριστική Όιλερ της σφαίρας;

a) 2   
b) 1 
c) -1 
d) -2 
e) 0 
III)Ποιος από τους παρακάτω τύπους ονομάζεται χαρακτηριστική Euler (Euler Gem);

a) E −F +V = 2  b) E −V +F = 0 
c) E −V +F = 2 
d) V −E +F = 2 
e) V + E - F= 3 
IV)Ποιο από τα παρακάτω γράμματα είναι τοπολογικά ισοδύναμο με το γράμμα J;

 a) O
 b) A
c) S
d) Q
e) L 
V)Mε πόσους τρόπους μπορούμε να μεταθέσουμε τέσσερα γράμματα;  

a) 4*(3−1)/2=4   
b) 4^2=16
c) 4!=24
d) 4!3!2!1!=288. 
VI)Ποια είναι η σωστή απάντηση στο παράδοξο του Joseph Bertrand;   

a) 1/2   
b) 1/3   
c) 1/4   
d) 1/6   
e) εξαρτάται.
VII)Ποιος ξεκίνησε την έρευνα της θεωρίας των πιθανοτήτων;

a) Bernoulli 
b) Euler 
c) Cardano 
d) Kolmogorov 
e) Fermat 
VIII)Ποια από τα παρακάτω θεωρήματα ή εικασίες δεν έχουν ακόμη αποδειχθεί;  

a) Goldbach 
b) Andrescu   
c) Fermat   
d) P vs NP problem   
e) Poincare
f) Collatz 

IX)Ποιος απέδειξε πρώτος ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί;

a) Gauss
b) Euclid 
c) Eudoxos   
d) Euler   
e) Perelman 
X)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι;

a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100 
XI)Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι το θεώρημα Wilson; 

a) n!+1 διαιρείται με το n.
b) n!−1 διαιρείται με το n.
c) (n−1)!+1 διαιρείται με το n.
d) (n+1)!−1 διαιρείται με το n.
e) (n−1)!−1 διαιρείται με το n. 
X)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι;

a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100 
XΙ)Δύο από τους παρακάτω αριθμούς είναι τέλειοι. Ποιοι είναι;

a) 2
b) 4
c) 6
d) 28
e) 100 (Κατ.27/Νο.394)

Ι)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/11_18.html

ΙΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/10_26.html

ΙΙΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/9_26.html

ΙV)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/8_25.html

V)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/7_20.html

VΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/6_20.html

VΙI)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/5_19.html

VΙII)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/4_18.html

ΙX)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/3_4204.html

X)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/2_18.html

XΙ)Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/1_17.html

Λύση:
I)Το (c), To (d), To (g), Το (h).
Λύση του Γ. Ριζόπουλου. 
Η σωστή απάντηση είναι πως μη κατασκευάσιμα είναι το 7-γωνο και 9-γωνο. Το 7-γωνο κατασκευάζεται δε με σημασμένο κανόνα (η κατασκευή που οι αρχαίοι λέγανε "νεύσις").
Ανάλυση του θέματος,εδώ: 
http://eisatopon.blogspot.com/2014/02/blog-post_4736.html 
II)Το (a). Βλέπε σχόλιο (3^o Μαθηματικό κουίζ). 
III)Η (d). Η χαρακτηριστική του Euler «χ» έχει κλασικά οριστεί για 
τις επιφάνειες των πολύεδρων, σύμφωνα με τον τύπο: 
x=V-E+F 
όπου: V=Κορυφή, E=Ακμή, και F=Έδρα
είναι αντίστοιχα οι αριθμοί των κορυφών (γωνίες), ακμών και εδρών του δοσμένου πολυγώνου. Οποιαδήποτε επιφάνεια κυρτού πολύεδρου έχει χαρακτηριστική Euler. 
x=V-E+F=2
Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό ως τύπος πολύεδρου Euler ή θεώρημα Euler. Αντιστοιχεί στη χαρακτηριστική Όιλερ της σφαίρας(π.χ. x = 2), και εφαρμόζεται πανομοιότυπα στα σφαιρικά πολύεδρα. Μία απεικόνιση του τύπου σε κάποια πολύεδρα δίνεται παρακάτω. 
Τετράεδρο: x=V-E+F --> x=4-6+4=2
Εξάεδρο η Κύβος: x=V-E+F --> x=8-12+6=2
Οκτάεδρο: x=V-E+F --> x=6-12+8=2
Δωδεκάεδρο: x=V-E+F --> x=20-30+12=2
Εκοσάεδρο: x=V-E+F --> x=12-30+20=2

Προσθήκη του Γ. Ριζόπουλου. 
Για όσους δυσκολεύονται να θυμηθούν τον τύπο του Όϋλερ (είμαι ένας απ'αυτούς), βοηθάει ο μνημονικός κανόνας: "Kωνσταντίνου και Ελένης=Άγιοι και οι 2."
Κ(ορυφές)+Ε(δρες)=Α(κμές)+2

IV)Λύση του Γ. Ριζόπουλου. 
Τοπολογικά ισοδύναμα με το γράμμα J είναι το S και το L.Τοπολογικό ανάλογο: μια ευθεία γραμμή. (το Α είναι ισοδύναμο με το R. Τοπολογικό.ανάλογο: κύκλος με δύο "αυτάκια") και το Q είναι μόνο του στη δική του τοπολογική κλάση (κύκλος με μία τέμνουσα γραμμή)

V)Το σωστό είναι το (c).  4!=4*3*2*1=24 τρόπους.
Προσθήκη του Γ. Ριζόπουλου.  
Για χάρη της ακρίβειας,πρέπει να ειπωθεί πως 4!=24 είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να μεταθέσουμε 4 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ γράμματα. Αν υπάρχουν επαναλήψεις γραμμάτων, οι τρόποι είναι λιγότεροι.
Π.χ στη λέξη ΑΝΝΑ υπάρχουν 6 μόνο τρόποι. 4!(2!*2!)

VI)Εάν δεν ήταν το (e) δεν θα ήταν "παράδοξο"..

      Βλέπε εδώ:

      http://mathimatika-paixnidia.blogspot.gr/2010/09/bertrand.html

      Παράδοξα Πιθανοτήτων

VII)Ο Gerolamo (ή Girolamo, ή Geronimo) Cardano (1501-1576).

VIII)H (a) Goldbach: Κάθε θετικός γράφεται ως άθροισμα 2 πρώτων αριθμών.

Η εικασία του Γκόλντμπαχ είναι ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών και γενικότερα των μαθηματικών. Εκφράζεται ως εξής:

Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n ≥ 2, , όπου p, q πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα,

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7 κτλ.

Η δεύτερη εικασία αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ιστορική αναδρομή

Στις 7 Ιουνίου 1742 ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μία επιστολή στον Λέοναρντ Όιλερ, στην οποία έκανε μια πρώτη αναφορά στην εξής εικασία:

Κάθε άρτιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων.

Θεωρούσε βέβαια ως δεδομένο ότι το 1 είναι πρώτος αριθμός, σύμβαση που μεταγενέστερα εγκαταλείφθηκε. Έτσι σήμερα η αρχική θεωρία του Goldbach θα γραφόταν ως εξής

Κάθε περιττός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Ο Όιλερ απάντησε με μία ισοδύναμη εκδοχή της εικασίας:

Κάθε άρτιος ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων, προσθέτοντας ότι το δέχεται ως ένα πλήρως ορισμένο θεώρημα (”ein ganz gewisses Theorema”), παρά το γεγονός ότι δεν είναι σε θέση να το αποδείξει. Αυτή η προγενέστερη εικασία είναι σήμερα γνωστή ως “τριαδική” εικασία του Γκόλντμπαχ, ενώ η μεταγενέστερη ως “ισχυρή” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ. Η εικασία ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί μεγαλύτεροι του 9 μπορούν να γραφτούν ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών καλείται ως η “αδύναμη” εικασία του Γκόλντμπαχ. Και οι δύο παραμένουν άλυτες μέχρι σήμερα.

Προσπάθειες απόδειξης

Όπως με πολλές άλλες εικασίες των μαθηματικών, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός από διαδεδομένες αποδείξεις της εικασίας του Γκόλντμπαχ, από τις οποίες όμως καμία δεν έχει γίνει ακόμα αποδεκτή από την μαθηματική κοινότητα. Ο εκδοτικός οίκος "Faber and Faber" προσέφερε το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον αποδείκνυε την εικασία του Γκόλντμπαχ μέσα στο χρονικό διάστημα από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε και έτσι η εικασία παραμένει ακόμα και μέχρι σήμερα ανοιχτή.

Δεύτερη Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η δεύτερη εικασία αναφέρει ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων.

Η (f) Collatz:(3n+1):

Η εικασία Collatz είναι μια εικασία στα μαθηματικά που πήρε τ’ όνομά του από τον Lothar Collatz, ο οποίος την πρότεινε για πρώτη φορά το 1937. Η εικασία είναι επίσης γνωστή και ως (3n + 1) εικασία, ή η εικασία Ulam (από τον Stanisław Ulam), ή το πρόβλημα του Kakutani (από τον Shizuo Kakutani), ή η εικασία του Thwaites (από τον  Sir Bryan Thwaites), ή ο αλγόριθμος του Hasse (από τον Helmut Hasse), ή το πρόβλημα Συρακούσες, η ακολουθία των αριθμών που εμπλέκονται αναφέρεται ως ακολουθία χαλάζι ή αριθμοί χαλάζι (επειδή οι τιμές συνήθως υπόκεινται σε πολλαπλές καταβάσεις και αναβάσεις όπως το χαλάζι σε ένα σύννεφο), ή ως θαυμαστοί αριθμοί.

Πάρτε κάθε φυσικό αριθμό n. Αν ο n είναι άρτιος, το διαιρούμε με το 2 για να πάρουμε

n/2. Εάν ο n είναι περιττός, το πολλαπλασιάζουμε με το 3 και προσθέστε 1 για να λάβουν (3n+1). Επαναλάβετε τη διαδικασία (η οποία έχει χαρακτηριστεί ως "Half Ή Triple Plus One", ή HOTPO), επ 'αόριστον. Δεν έχει σημασία με τι αριθμό μπορείτε να ξεκινήσετε  την εικασία, αρκεί να φθάσει τελικά στον αριθμό 1. Η ιδιότητα αυτή έχει κληθεί επίσης
μοναδικότητα. Ο Paul Erdős δήλωσε σχετικά για την υπόθεση Collatz: "Μαθηματικά δεν μπορεί να είμαστε έτοιμη για τέτοια προβλήματα». Πρόσφερε επίσης $ 500 για τη λύση του  Το 1972, ο J. H Conway απέδειξε ότι μια φυσική γενίκευση του προβλήματος
Προσθήκη του Γ. Ριζόπουλου. 
Ασφαλώς το P vs NP πρόβλημα ΔΕΝ έχει λυθεί ακόμα.

IX)Υπάρχουν άπειροι σε πλήθος πρώτοι αριθμοί, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης περίπου

      το 300 π.Χ.

X)Τέλειος αριθμός λέγεται ένας ακέραιος αριθμός όταν το άθροισμα των θετικών

    διαιρετών του, εκτός του αριθμού, είναι ίσο τον αριθμό δηλαδή ο "n" είναι τέλειoς

    εάν και μόνο εάν Σ(n) = 2n.

    Άρα οι τέλειοι αριθμοί είναι οι (c) και (d)

    Οι διαιρέτες του 6 είναι οι 1, 2, και 3. Το άθροισμα των διεραιτών είναι (1+2+3=6)

    Οι διαιρέτες του 28 είναι οι 1, 2, 4, 7, και 14. Τοάθροισμα των διαιρετών είναι

    (1 + 2 + 4 + 7 + 14=28)

    (http://dide.fth.sch.gr/q76/t10.php)

XI)Θεώρημα Wilson:

Εάν n ακέραιος μεγαλύτερος από 1, ο n είναι πρώτος αριθμός εάν  και μόνον εάν

(n-1)!= -1 mod n
Συνεπώς σωστή είναι η (c) διότι:
(n-1)!+1 = -1 mod n +1 mod n = 0 mod n