Κυριακή, 17 Αυγούστου 2014

Τα Βάζα με το Γλυκό

Ας υποθέσουμε ότι γυρνάτε στην παιδική σας ηλικία, όπου επισκέπτεστε
την γιαγιά σας. Εκεί της λέτε πόσο έξυπνο παιδί είστε και πόσο καλούς βαθμούς έχετε πάρει. Έτσι, για να σας δοκιμάσει η γιαγιά, αφού τελειώσει η επίσκεψη, την ώρα που πάτε να φύγετε σας φωνάζει και σας λέει:
"Έφτιαξα το γλυκό που σου αρέσει."
Και βλέπετε τέσσερα όμοια αδιαφανή βαζάκια. Πάτε να πάρετε τα βαζάκια και εισπράττετε μια ξυλιά στα χέρια.
"Δυο λεπτά!...", λέει η γιαγιά. "Θα πάρεις μόνο ένα από τα τέσσερα βαζάκια..."
Και πριν τελειώσει, πάτε να αρπάξετε ένα βαζάκι και πάλι εισπράττετε άλλη μια ξυλιά στα χέρια.
"Μην βιάζεσαι!", λέει η γιαγιά. "Υπάρχουν όροι. Μπορείς να ανοίξεις οποιοδήποτε από τα βαζάκια, ένα κάθε φορά, και να κοιτάξεις το περιεχόμενο. Τότε μπορείς να επιλέξεις το ανοιχτό βαζάκι ή να προχωρήσεις και να ανοίξεις άλλο βαζάκι. Αν ανοίξεις ένα βαζάκι και δεν το επιλέξεις δεν μπορείς να ξαναγυρίσεις πίσω. Για παράδειγμα, αν ανοίξεις το πρώτο βαζάκι και μετά αποφασίσεις να ανοίξεις το δεύτερο δεν μπορείς να πάρεις το πρώτο."
Στο τέλος συμπληρώνει η γιαγιά:
"Τώρα προσοχή:μπορείς να κρατήσεις το γλυκό ΜΟΝΟ αν το βαζάκι που θα επιλέξεις είναι αυτό που θα περιέχει τη μεγαλύτερη ποσότητα γλυκού από τα τέσσερα. Άντε λοιπόν, διάλεξε..."
 Έτσι λοιπόν, σε περιμένει η γιαγιά να επιλέξεις το βαζάκι...
Το ερώτημα είναι: Υπάρχει τρόπος (και ποιός) για να αυξηθούν οι πιθανότητες επιτυχίας ή πρόκειται για μια περίπτωση απλής τύχης για να βρεις το πιο γεμάτο βαζάκι; 
Βοήθεια: 
1.Υποθέστε ότι μπορείτε σαφώς να καταλάβετε τα περιεχόμενα (την ποσότητα) στο κάθε βαζάκι, απλά κοιτώντας τα.
2.Μην κολλήσετε στις περιγραφές και τη "σάλτσα" του προβλήματος.
3.Η λύση είναι κανονική, όχι καμιά εξυπνάδα του στυλ: "Δεν διαλέγω τίποτε  γιατί δεν μου αρέσουν τα γλυκά..." ή "Τα ζυγίζω", κλπ...(Κατ.33/Νο.39)
Πηγή: http://anekdota.duckdns.org/quiz/0197.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Έστω 1,2,3,4 τα βάζα, 1μικρότερο του 2 μικρότερο του 3 μικρότερο του 4. Οι μεταθέσεις αυτών είναι: (1,2,3,4), (1,3,2,4), (1,2,4,3), (1,4,2,3), (1,3,4,2), (1,4,3,2), (3/6) (2,1,3,4) (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3/6) (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (6/6 (4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1), (0/6) Παρατηρώ ότι αν ανοίγουμε βάζα μη επιλέγοντας το πρώτο μέχρι να βρούμε το πρώτο μεγαλύτερο από το προηγούμενο ή τα προηγούμενα, το οποίο και επιλέγουμε. Με αυτόν τον τρόπο πετυχαίνουμε το πιο γεμάτο βαζάκι σε 12 από τις 24 περιπτώσεις μεταθέσεων (1,2,4,3), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (2,1,4,3), (2,4,1,3), (2,4,3,1) (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1) Η πιθανότητα έτσι να βρούμε το μεγαλύτερο είναι 50%. (αντί του 25% στην τύχη) Ενδιαφέρον παρουσιάζει η γενίκευση του θέματος σε "n" βάζα ή οτιδήποτε "n". Διόρθωση: Στο (1,2,4,3) δεν πετυχαίνουμε το μεγαλύτερο άρα 11/24 η πιθανότητα. Επειδή επιμένετε ότι ποσοστό που έβγαλα είναι πολύ υψηλό, σημαίνει ότι κάπου έχετε δει λύση με λιγότερο ευνοϊκό αποτέλεσμα, πιθανόν όπως η παρακάτω(πιθανόν με άλλο τρόπο, (συνδυασμών) υπολογισμένο): Μετά από 2 ανοίγματα χωρίς επιλογή διαλέγουμε το επόμενο μεγαλύτερο και από τα 2 πρώτα, δηλαδή αν το 3ο που θα ανοίξουμε είναι μεγαλύτερο από τα δύο πρώτα το διαλέγουμε, αν όχι πάμε για το 4ο. (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (3/6) (2,1,3,4) (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3/6) (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4/6 (4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1), (0/6) Ευνοϊκές περιπτώσεις (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), συνολικά 10 στις 24 Πιθανότης: 10/24=41.666.... Με 5 βάζα έχω βγάλει Π=49/120=40.8333...% και όπως υποψιάζομαι όσο θα ανεβάζουμε τον αριθμό των βάζων η πιθανότητα ελάχιστα θα μικραίνει και πιθανόν να υπάρχει και όριο που να μην πέφτει παρακάτω, αλλά αυτό θέλει πολύ ανώτερα μαθηματικά που εγώ δεν κατέχω ως γνωστόν. Γράφει ο Γιώργος Ριζόπουλος, που προτείνει ως βέλτιστη στρατηγική την στρατηγική «Άσε 2 βαζάκια να περάσουν, και διάλεξε το αμέσως επόμενο που είναι καλύτερο από τα 2 πρώτα!» Πράγματι είναι καλή στρατηγική αλλά όχι η βέλτιστη. Αλλά ας δούμε αν την εφάρμοσε σωστά: «Nικητήριες» περιπτώσεις είναι έτσι οι: [2341],2314, 2413, 3214, 4312,4213” ωραία ως εδώ και συμφωνώ. Γράφει παρακάτω “ΚΑΙ οι 3241 (το 4 το απορρίπτουμε ,αφού είναι χειρότερο από τα 3 και 2), [2341]. Τέλεια το 2341 επαναλαμβάνεται 2 φορές. Άρα 7 οι «νικητήριες» περιπτώσεις, άρα Π= 7/24 κατά τον Γιώργο. Συμφωνείτε ότι η διπλομέτρηση είναι μέρος της ορθής και “πολύ ωραίας ανάλυσης”? Τέλεια!... Και σε αυτό. Ας δούμε όμως αν διέφυγε κάποια μετάθεση πέραν των αναφερομένων επτά (7) Νικητήρια μετάθεση 1η(8η) που διέφυγε 4231. Αφού έχουμε δεί το 2 στα δύο πρώτα βάζα σαφώς δεν επιλέγουμε και το τρίτο βαζάκι αφού 3<2 1="" 2134="" 2431.="" 2="" 3412.="" 3="" 4="">2 και φυσικά χάνουμε Όμως στο 3214, απορρίπτουμε δεύτερο και τρίτο βαζάκι (2 μικρότερο του 3, 1 μικρότερο του 3) και πάμε για το τέταρτο και κερδίζουμε. Διαβάστε όμως καλά αυτό που προτείνω και σημειωτέον η δική μου κατάταξη ως παραδοχή είναι 4 μεγαλύτερο του 3 μεγαλύτερο του 2 μεγαλύτερο του 1 για να βοηθάει συνειρμικά καθώς για τους αριθμούς ισχύει 4 μεγαλύτερο του 3 μεγαλύτερο του 2 μεγαλύτερο του 1 και να μου πείτε μια μετάταξη από τις 11 που βγαίνουν με την δική μου στρατηγική, 1423, 1432, 2143, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 είναι λάθος, δεν είναι νικητήρια! ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΙΛΑΝΕ ΜΟΝΟΙ ΤΟΥΣ ή ΜΗΠΩΣ ΟΧΙ? “Αφήνουμε το πρώτο βαζάκι και επιλέγουμε το μεγαλύτερο από το 1ο” Θεωρώ 4 μεγαλύτερο του 3 μεγαλύτερο του 2 μεγαλύτερο του 1 χάριν ευκολίας. Το ίδιο προκύπτει και αν θεωρήσουμε 1 μεγαλύτερο του 2 μεγαλύτερο του 3 μεγαλύτερο του 4 με άλλες μεταθέσεις εννοείται, φαντάζομαι να είναι κατανοητό. Αν όχι ευχαρίστως να το κάνω και με 1 μεγαλύτερο του 2 μεγαλύτερο του 3 μεγαλύτερο του 4 1423 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 1432 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 2143 ΝΑΙ, 1 μικρότερο του 2, πάμε παρακάτω 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 2413 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 2431 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 3124 ΝΑΙ, 1,2 μικρότερο του 3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 3142 ΝΑΙ, 1 μικρότερο του 3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 3214 ΝΑΙ, 2,1 μικρότερο του 3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 3241 ΝΑΙ, 2 μικρότερο του 3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 3412 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ 3421 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ (με το αφήνουμε το πρώτο κερδίζουμε και στις 6 μεταθέσεις με 1ο βαζάκι το 3, μεγάλο πλεονέκτημα! Μετράω και ξανά μετράω και βγάζω 11>10 ευνοϊκές περιπτώσεις ΘΡΙΑΜΒΟΣ! ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 11/24 μεγαλύτερο του 10/24 Μου διαφεύγει κάτι που δεν το βλέπω? Συνοψίζοντας και γενικεύοντας το πολύ ενδιαφέρον αυτό θέμα για n αντικείμενα (στην περίπτωση μας n=4). To πρώτο και βασικό θέμα είναι η εύρεση του αριθμού, έστω m που αφήνουμε αρχικά (στην περίπτωση μας m=1 ή m=2, διΐστανται μέχρι στιγμής οι απόψεις). Ο τύπος που δίνει την βέλτιστη επιλογή του m είναι m=n*(1/e) Ο τύπος που δίνει την βέλτιστη πιθανότητα P(m) είναι: P(m)= (m/n)Σ(1/i), ι=m,(m+1),..,(n-1) → P(m)= (m/n)[1/m +1/(m+1) +1(m+2)+...+1/(n-1)] Για n=3 και m=1 (τρία βαζάκια και αφήνουμε το ένα το πρώτο) μας δίνει: P(1)=(1/3)*(1/1 +1/2)=1/2 όπως ακριβώς βγαίνει και με τις μεταθέσεις. Για n=4, m=2 (βέλτιστη λύση κατά Γ. Ριζόπουλο) μάς δίνει: P(2)=(2/4)*(1/2+1/3)=10/24, όπως ακριβώς τα υπολογίσαμε με τις μεταθέσεις Για n=4, m=1 (βέλτιστη λύση κατά Ε. Αλεξίου) μάς δίνει: P(2)=(1/4)*(1/1+1/2+1/3)=11/24, όπως ακριβώς υποστηρίζω με απόλυτη βεβαιότητα από την αρχή. Τα συμπεράσματα κ. Κάρλο για την βέλτιστη λύση, δικά σας. Για n=5, βέλτιστο m=2, όπως ακριβώς έχω ήδη γράψει P(2)=(2/5)*(1/2+1/3+1/4)=52/120 =0.4333..., είχα βρει 49/120, πράγματι μετά από έλεγχο των 120 μεταθέσεων που έχω κάνει στο χαρτί βρήκα και τις υπόλοιπες τρεις που μου διέφυγαν. Για n πολύ μεγάλο, ας πούμε n=100.000 (για να μπορεί η Βολφραμάλφα -Wolfram Alpha - να κάνει τις πράξεις) κατάλληλο m=100.000/e =36.787,944117, επιλέγουμε προφανώς m=36.788 (μερικές φορές χρειάζεται έλεγχο όταν ας πούμε βγει m=agc..k,515, ποιος από τους 2 πλησιέστερους ακέραιους είναι ο καταλληλότερος) και έχουμε: P(36788)=(36788/100000)*(1/36788+1/36789+...+1/99999)= 0.36788*1.00000707238937839529...= 0.3678826... μεγαλύτερο του 1/e=0.36787944... Απίστευτο και όμως αληθινό, από 100.000 με αυτή την στρατηγική πετυχαίνουμε το καλύτερο με πιθανότητα 36,79% Αλλά και όπως έχω διαβάσει στο παρελθόν, (τα μαθηματικά πέραν των γυμνασιακών χρόνων δεν με ενδιέφεραν αλλά οι γρίφοι, σπαζοκεφαλιές και τέτοιου είδους προβλήματα, ήταν ένα από τα αγαπημένα μου χόμπυ μέχρι τα 33 μου, ε μετά οικογένεια, η καριέρα που ήταν στο φούλ και η ενασχόληση μου έντονα με την πολιτική, δεν μου άφηναν χρόνο ούτε για ένα 6ωρο ύπνου) οσοδήποτε μεγάλο και να είναι το n, n να τείνει στο άπειρο με το κατάλληλο m=n/e , η πιθανότητα ποτέ δεν θα γίνει μικρότερη του 1/e=0.367879... Απίστευτο, σχεδόν σχιζοφρενικό.. Γράφω εδώ καθώς το “Τα βάζα με το Γλυκό”, όχι μην φοβάσθε ότι θα συνεχίσω την αντιπαράθεση μαζί σας, αν και δεν αποφασίσατε ακόμη πια είναι η βέλτιστη λύση, γιατί εκει φρακάρισε από σχόλια και θα χαθεί. Το βιβλίο που διάβασα (πρίν ενάμισυ-δύο χρόνια, μαλιστα είναι το από τα πρώτα αυτης της κατηγορίας μετα από δεκαετίες το βρήκα στην βιβλιοθήκη μου), για το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής του καλύτερου μεταξύ 4,..,10,..., n επιλογών είναι: ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΟΖ του KLIFFORD A. PICKOVER Πρόβλημα 70: Η ΕΠΙΛΟΓΗ, σελίδα 194 Η απάντηση στις σελίδες 397, 398, 399 όπου αναπτύσσει το θέμα αρκετά διεξοδικά και κυρίως κατανοητά. Το βιβλίο αυτό σας το συνιστώ ανεπιφύλακτα, αν δε το έχετε διαβάσει, μιας και ασχολείσθε και μάλιστα σαν θεματοθέτης το τελευταίο διάστημα, με αρκετά δύσκολα θέματα και πολύ καλά κάνετε, στο παρελθόν εξάλλου σας είχα ζητήσει κατ' επανάληψη να ανεβάσετε τον πήχυ δυσκολίας των θεμάτων. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πρόβλημα δεν είναι «θεωρητικό» ή «στο περίπου» ,αλλά πολύ ακριβές και συγκεκριμένο ποσοτικά. Καταρχάς , το «μικρό βαζάκι» είναι κάπως προβληματικό στην εκφώνηση, γιατί το νόημα είναι να μην ξέρουμε εκ των προτέρων, δηλαδή τη στιγμή που το βλέπουμε, το βέλτιστο. Γι’αυτό και λέγεται «πρόβλημα της γραμματέως» η «της ταιριαστής νύφης». Η σειρά κατάταξης είναι ξεκάθαρη μόνο στο τέλος. Ένα μικρό βαζάκι γεμάτο είναι το βέλτιστο, οπότε πιο σωστά θα έπρεπε να είναι ένα πολύ μεγάλο βάζο (που δεν μπορεί να είναι τελείως γεμάτο ποτέ) . Ας πούμε πως έχουμε να δούμε 3 υποψήφιες νύφες (ή υποψήφια βαζάκια με γλυκό). Δεν ξέρουμε με ποια σειρά θα τις/τα δούμε. Η σειρά με την οποία εμφανίζονται μπροστά μας μπορεί να είναι τυχαία, δηλαδή οποιαδήποτε από τις μεταθέσεις ισοπίθανα. Ν! για Ν αντικείμενα. Όταν απορρίψουμε μια νύφη/γραμματέα/βαζάκι φεύγουν και δεν γυρίζουν πίσω. Τώρα είναι πλήρως ορισμένο το πρόβλημα. Για 3 βαζάκια ,υπάρχουν 3!=6 πιθανοί συνδυασμοί/σειρές εμφάνισης. (123), (132), (213), (231), (312), (321) Έστω 1>2>3 με την έννοια δηλαδή πως το 1 είναι το τελικά καλύτερο βαζάκι ,2 το αμέσως πιο κάτω και 3 το χειρότερο. Είναι προφανές πως αν επιλέξουμε στην τύχη ένα οποιοδήποτε βάζο που βλέπουμε, η πιθανότητα να διαλέξουμε το 1 είναι 0,33% (1 στις 3). Η ίδια πιθανότητα υπάρχει αν ακολουθήσουμε ας πούμε τον κανόνα «Διάλεξε το πρώτο βαζάκι!» Ο κανόνας θα δούλευε αν ήμασταν σε μια από τις 2 πρώτες μεταθέσεις (123 , 132) και όχι στις υπόλοιπες. 2/6 =1/3. Αν βάζαμε τον κανόνα «Διάλεξε το δεύτερο βαζάκι» (ή το τρίτο) ,θα συνέβαινε ακριβώς το ίδιο. Οι «καλές» μεταθέσεις είναι ανά περίπτωση 2 από τις 6 συνολικά, άρα η p(επιτυχίας)=0,33. Το πρόβλημα λοιπόν που αντιμετωπίζουμε είναι η απάντηση στην ερώτηση: “Υπάρχει τρόπος να αυξήσουμε αυτή την πιθανότητα;» Ας βάλουμε στον εαυτό μας έναν άλλο κανόνα: “Άσε το πρώτο βαζάκι να περάσει και διάλεξε το αμέσως επόμενο, που είναι καλύτερο(πιο γεμάτο) από το πρώτο!» Για να δούμε τι γίνεται τώρα. Στις πρώτες δύο μεταθέσεις (123, 132) δεν δουλεύει (χάνουμε το 1) αλλά δουλεύει στις περιπτώσεις 213, 231, και 312. Σε τρεις δηλαδή περιπτώσεις ,ενώ το αρχικό τυχαίο δούλευε μόνο σε 2. Αμέσως βελτιώσαμε λοιπόν την πιθανότητα από 33% σε 50% . ΑΥΤΟ είναι το κόλπο! Ε, στην περίπτωσή μας με τα 4 βαζάκια, οι δυνατές μεταθέσεις (με το συμβολισμό πάντα: 1 το καλύτερο, 2 το δεύτερο καλύτερο κ.λ.π.) είναι 4!=24, οι εξής: 1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132 1324 2341 3214 4213 1342 2314 3241 4231 1432 2413 3412 4312 1423 2431 3421 4321 Ποιος κανόνας θα αυξήσει το στάνταρ ¼ (25%) ; Με απλή εξέταση των περιπτώσεων είναι φανερό πως ο κανόνας πρέπει να είναι: “Άσε 2 βαζάκια να περάσουν, και διάλεξε το αμέσως επόμενο που είναι καλύτερο από τα 2 πρώτα!» “Nικητήριες» περιπτώσεις είναι έτσι οι: 2341,2314, 2413, 3214, 4312,4213 (αυτές που είναι έτσι κι αλλιώς «στάνταρ» με τυχαία επιλογή: 6 στις 24) ΚΑΙ οι 3241 (το 4 το απορρίπτουμε ,αφού είναι χειρότερο από τα 3 και 2) ,2341 . Σύνολο: 8/24 = 33%. Σημαντική αύξηση πιθανοτήτων επιτυχίας. Απλό, «μαγικό» και πολύ συγκεκριμένο αριθμητικά. Η γενική περίπτωση για ν υποψήφια βαζάκια έχει την γενική απάντηση που έγραψα στο πρώτο σχόλιο, και η απόδειξη της βελτιστοποίησης είναι κάπως τεχνική. Ίσως γράψω κάποια στιγμή στο «eisatopon.» Eνδιαφέρον θέμα Κάρλο εφαρμοσμένης Συνδυαστικής, με εφαρμογές σε αρκετούς τομείς. (decision theory, game theory, optimal algorithms, κ.α) Άφησα απέξω από τις "νικητήριες" 2 ευνοϊκές περιπτώσεις. Aς ξαναμετρήσω αναλυτικά: (Σύμβαση: 1 το καλύτερο,κλπ.) 1234 2134 3124 4123 1243 2143 3142 4132 1324 2341 3214 4213 1342 2314 3241 4231 1432 2413 3412 4312 1423 2431 3421 4321 Η 1η στήλη έχει πρώτο το 1 πάει όλη στράφι. 2η στήλη: (2341 NAI), (2314 NAI), (2413 NAI), (2431 NAI) 3η στήλη: (3214 NAI), (3241 NAI), (3412 NAI), (3421 OXI) 4η στήλη: (4213 NAI), (4231 NAI), (4312 NAI), (4321 OXI) ΣΥΝΟΛΟ ΝΑΙ: 4+3+3=10. Σύνολο λοιπόν: 10/24= ≈ 41,7%.

31 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Έστω 1,2,3,4 τα βάζα, 1<2<3<4. Οι μεταθέσεις αυτών είναι:

(1,2,3,4), (1,3,2,4), (1,2,4,3), (1,4,2,3), (1,3,4,2), (1,4,3,2), (3/6)
(2,1,3,4) (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3/6)
(3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (6/6
(4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1), (0/6)

Παρατηρώ ότι αν ανοίγουμε βάζα μη επίλέγοντας το πρώτο μέχρι να βρούμε το πρώτο μεγαλύτερο από το προηγούμενο ή τα προηγούμενα, το οποίο και επιλέγουμε.
Με αυτόν τον τρόπο πετυχαίνουμε το πιο γεμάτο γεμάτο βαζάκι σε
12 από τις 24 περιοτώσεις μεταθέσεων
(1,2,4,3), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (2,1,4,3), (2,4,1,3), (2,4,3,1)
(3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1)
Η πιθανότητα έτσι να βρούμε το μεγαλύτερο είναι 50%. (αντί του 25% στην τύχη)

Ενδιαφέρον παρουσιάζαι η γενίκευση του θέματος σε n βάζα ή οτιδήποτε n

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Πρέπει να προσπεράσουμε/απορρίψουμε τα 2 πρώτα βαζάκια και να επιλέξουμε το αμέσως καλύτερο (αν είναι το 3ο>{1,2} , το 3ο, αλλιώς ούτως ή άλλως μένει μόνο το 4.}
Τα μαθηματικά είναι κάπως πολύπλοκα (optimal stopping problem)ή "πρόβλημα της γραμματέως" αλλά η πιθανότητα βέλτιστης επιλογής υπαγορεύει να αφήσουμε να περάσουν ceiling(ν/e) (4/e=1,47=2 στην περίπτωσή μας)επιλογές και μετά να διαλέξουμε την πρώτη αμέσως καλύτερη από τις προηγούμενες. Ετσι αυξάνεται η πιθανότητα βέλτιστης επιλογής από 25% σε 36,8% ή 1/e περίπου. Φυσικά ,αν στα 2 πρώτα βαζάκια ,κάποιο είναι φουλ, καλύτερα να το επιλέξουμε πάραυτα! :-)

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

ΔΙΟΡΘΩΣΗ
στο (1,2,4,3) δεν πετυχαίνουμε το μεγαλύτερο άρα 11/24 η πιθανότητα

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Το ποσοστό είναι πολύ υψηλό. Μήπως θα πρέπει να επανεξετάσετε το πρόβλημα;

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Εννοείται ότι με την διόρθωση που έκανα γίνεται 11/24=11/24=45.83%

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Όχι, εννοώ ότι είναι πιο χαμηλό το ποσοστό.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Καλημέρα κ. Κάρλο, Καλημέρα σε όλους
Επειδή επιμένετε ότι ποσοστό που έβγαλα είναι πολύ υψηλό, σημαίνει ότι κάπου έχετε δει λύση με λιγότερο ευνοικό αποτέλεσμα, πιθανόν όπως η παρακάτω(πιθανόν με άλλο τρόπο, (συνδυασμών) υπολογισμένο):
Μετά από 2 ανοίγματα χωρίς επιλογή διαλέγουμε το επόμενο μεγαλύτερο και από τα 2 πρώτα, δηλαδή αν το 3ο που θα ανοίξουμε είναι μεγαλύτερο από τα δύο πρώτα το διαλέγουμε, αν όχι πάμε για το 4ο.
(1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (3/6)
(2,1,3,4) (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3/6)
(3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4/6
(4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1), (0/6)
Ευνοικές περιπτώσεις (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), συνολικά 10 στις 24
Πιθανότης 10/24=41.666....

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Πράγματι, τη λύση την έδωσε ο κ. Ριζόπουλος και μου φαίνεται λογική.
Πάντως η τελευταία λύση που δίνετε δεν απέχει και πολύ από αυτή του κ. Ριζόπουλου.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Την τελευταία που έδωσα δεν την προτείνω σαν λύση, αφού δεν είναι βέλτιστη, αλλιώς υπάρχει και το 25% χωρίς να σπάσουμε το κεφάλι μας!:-). Την έστειλα σαν πρόβλεψη ποια άλλη λύση μπορεί πιθανόν να είχατε μπροστά σας και ότι εσείς μεταξύ της δικιάς μου της πρώτης (και μοναδικής που προτείνω αφού δίνει το απίστευτο 11/24 =45.8333...%) και της άλλης (του Γιώργου όπως γράφετε) ποντάρατε με επιφύλαξη, όπως φαίνεται από το ύφος της γραφής σας, στον Γιώργο και μάλλον χάσατε το ποντάρισμα. Θα είμαστε σίγουροι όταν "ανοίξουν τα χαρτιά".
Με 5 βάζα έχω βγάλει Π=49/120=40.8333...% και όπως υποψιάζομαι όσο θα ανεβάζουμε τον αριθμό των βάζων η πιθανότητα ελάχιστα θα μικραίνει και πιθανόν να υπάρχει και όριο που να μην πέφτει παρακάτω, αλλά αυτό θέλει πολύ ανώτερα μαθηματικά που εγώ δεν κατέχω ως γνωστόν.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Υπάρχει ένα κάπως όμοιο και καταπληκτικό (τουλάχιστον η πιθανότητα που μπορεί να βγει σε αφήνει κατάπληκτο) πρόβλημα στους Γρίφους που Πάντσικ
Κατηγορία: Συνδυασμοί Τίτλος: Δωμάτια ξενοδoχείου 31/7/2011

http://pantsik.blogspot.gr/search/label/%CE%A3%CF%85%CE%BD%CE%B4%CF%85%CE%B1%CF%83%CE%BC%CF%8E%CE%BD

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Kάρλο, θα ετοιμάσω σε λίγο μια πλήρη ανάλυση του θέματος ,πολύ συγκεκριμένη, και θα σού τη στείλω.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Το πρόβλημα δεν είναι «θεωρητικό» ή «στο περίπου» ,αλλά πολύ ακριβές και συγκεκριμένο ποσοτικά.
Καταρχάς , το «μικρό βαζάκι» είναι κάπως προβληματικό στην εκφώνηση, γιατί το νόημα είναι να μην ξέρουμε εκ των προτέρων, δηλαδή τη στιγμή που το βλέπουμε, το βέλτιστο. Γι’αυτό και λέγεται «πρόβλημα της γραμματέως» η «της ταιριαστής νύφης». Η σειρά κατάταξης είναι ξεκάθαρη μόνο στο τέλος. Ένα μικρό βαζάκι γεμάτο είναι το βέλτιστο, οπότε πιο σωστά θα έπρεπε να είναι ένα πολύ μεγάλο βάζο (που δεν μπορεί να είναι τελείως γεμάτο ποτέ) .
Ας πούμε πως έχουμε να δούμε 3 υποψήφιες νύφες (ή υποψήφια βαζάκια με γλυκό). Δεν ξέρουμε με ποια σειρά θα τις/τα δούμε. Η σειρά με την οποία εμφανίζονται μπροστά μας μπορεί να είναι τυχαία, δηλαδή οποιαδήποτε από τις μεταθέσεις ισοπίθανα. Ν! για Ν αντικείμενα. Όταν απορρίψουμε μια νύφη/γραμματέα/βαζάκι φεύγουν και δεν γυρίζουν πίσω. Τώρα είναι πλήρως ορισμένο το πρόβλημα.
Για 3 βαζάκια ,υπάρχουν 3!=6 πιθανοί συνδυασμοί/σειρές εμφάνισης.
123
132
213
231
312
321
Έστω 1>2>3 με την έννοια δηλαδή πως το 1 είναι το τελικά καλύτερο βαζάκι ,2 το αμέσως πιο κάτω και 3 το χειρότερο.
Είναι προφανές πως αν επιλέξουμε στην τύχη ένα οποιοδήποτε βάζο που βλέπουμε, η πιθανότητα να διαλέξουμε το 1 είναι 0,33% (1 στις 3). Η ίδια πιθανότητα υπάρχει αν ακολουθήσουμε ας πούμε τον κανόνα «Διάλεξε το πρώτο βαζάκι!» Ο κανόνας θα δούλευε αν ήμασταν σε μια από τις 2 πρώτες μεταθέσεις (123 , 132) και όχι στις υπόλοιπες. 2/6 =1/3. Αν βάζαμε τον κανόνα «Διάλεξε το δεύτερο βαζάκι» (ή το τρίτο) ,θα συνέβαινε ακριβώς το ίδιο. Οι «καλές» μεταθέσεις είναι ανά περίπτωση 2 από τις 6 συνολικά, άρα η p(επιτυχίας)=0,33. Το πρόβλημα λοιπόν που αντιμετωπίζουμε είναι η απάντηση στην ερώτηση:
“Υπάρχει τρόπος να αυξήσουμε αυτή την πιθανότητα;»
Ας βάλουμε στον εαυτό μας έναν άλλο κανόνα:
“Άσε το πρώτο βαζάκι να περάσει και διάλεξε το αμέσως επόμενο, που είναι καλύτερο(πιο γεμάτο) από το πρώτο!» Για να δούμε τι γίνεται τώρα.
Στις πρώτες δύο μεταθέσεις (123, 132) δεν δουλεύει (χάνουμε το 1) αλλά δουλεύει στις περιπτώσεις 213, 231, και 312. Σε τρεις δηλαδή περιπτώσεις ,ενώ το αρχικό τυχαίο δούλευε μόνο σε 2.
Αμέσως βελτιώσαμε λοιπόν την πιθανότητα από 33% σε 50% .
ΑΥΤΟ είναι το κόλπο!
Ε, στην περίπτωσή μας με τα 4 βαζάκια, οι δυνατές μεταθέσεις (με το συμβολισμό πάντα: 1 το καλύτερο, 2 το δεύτερο καλύτερο κ.λ.π.) είναι 4!=24, οι εξής:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2341 3214 4213
1342 2314 3241 4231
1432 2413 3412 4312
1423 2431 3421 4321
Ποιος κανόνας θα αυξήσει το στάνταρ ¼ (25%) ;
Με απλή εξέταση των περιπτώσεων είναι φανερό πως ο κανόνας πρέπει να είναι:
“Άσε 2 βαζάκια να περάσουν, και διάλεξε το αμέσως επόμενο που είναι καλύτερο από τα 2 πρώτα!»
“Nικητήριες» περιπτώσεις είναι έτσι οι: 2341,2314, 2413, 3214, 4312,4213 (αυτές που είναι έτσι κι αλλιώς «στάνταρ» με τυχαία επιλογή: 6 στις 24) ΚΑΙ οι 3241 (το 4 το απορρίπτουμε ,αφού είναι χειρότερο από τα 3 και 2) ,2341 . Σύνολο: 8/24 = 33%. Σημαντική αύξηση πιθανοτήτων επιτυχίας.
Απλό, «μαγικό» και πολύ συγκεκριμένο αριθμητικά.
Η γενική περίπτωση για ν υποψήφια βαζάκια έχει την γενική απάντηση που έγραψα στο πρώτο σχόλιο, και η απόδειξη της βελτιστοποίησης είναι κάπως τεχνική. Ίσως γράψω κάποια στιγμή στο eisatopon.
Eνδιαφέρον θέμα Κάρλο εφαρμοσμένης Συνδυαστικής, με εφαρμογές σε αρκετούς τομείς. (decision theory, game theory, optimal algorithms, κ.α)

Papaveri είπε...

Γ. Ριζόπουλος
Γιώργο πολύ ωραία η ανάλυση που έκανες στο γρίφο. Συγχαρητήρια.

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Επειδή είδα στο συγκεκριμένο γρίφο του Pantsik. δώσατε τη λύση, μπορείτε να την αναρτήσετε εδώ;

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Άφησα απέξω από τις "νικητήριες" 2 ευνοϊκές περιπτώσεις.
Σύνολο λοιπόν 10/24=41,7% περίπου.

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Τελικά συμφωνίσατε με το κ. Ριζόπουλο στο περίπου 41,7%. Συγχαρητήρια και σε σας για τη λύση που δώσατε.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Πολύ ωραία κ. Κάρλο! Συγχαρητηρια! Χωρίς να γνωρίζετε το θέμα, χωρίς να έχετε προσωπική άποψη, απλά “έχετε την εντύπωση” και βγάλετε συμπέρασμα και απόφαση πιο είναι σωστό και πιο λάθος. Άς είναι...
Πάμε στα γεγονότα, στους αδιάψευστους αριθμούς.
Γράφει ο Γιώργος, που προτείνει ως βέλτιστη στρατηγική την στρατηγική “Άσε 2 βαζάκια να περάσουν, και διάλεξε το αμέσως επόμενο που είναι καλύτερο από τα 2 πρώτα!» Πράγματι είναι καλή στρατηγική αλλά όχι η βέλτιστη. Αλλά ας δούμε αν την εφάρμοσε σωστά.
Γράφει ““Nικητήριες» περιπτώσεις είναι έτσι οι: [2341],2314, 2413, 3214, 4312,4213” ωραία ως εδώ και συμφωνώ γράφει παρακάτω “ΚΑΙ οι 3241 (το 4 το απορρίπτουμε ,αφού είναι χειρότερο από τα 3 και 2) ,[2341] Τέλεια το 2341 επαναλαμβάνεται 2 φορές. Άρα 7 οι “νικητήριες” περιπτώσεις, άρα Π= 7/24 κατά Γιώργο. Συμφωνάτε ότι η διπλομέτρηση είναι μέρος της ορθής και “πολύ ωραίας ανάλυσης”? Τέλεια!... Και σε αυτό.
Ας δούμε όμως αν διέφυγε κάποια μετάθεση πέραν των αναφερομένων επτά (7)

Νικητήρια μετάθεση 1η(8η) που διέφυγε 4231.
Αφού έχουμε δεί το 2 στα δύο πρώτα βάζα σαφώς δεν επιλέγουμε και το τρίτο βαζάκι αφού 3<2 και πάμε για το τέταρτο βαζάκι το 1 άρα νικητήρια μετάθεση, όμως λείπει από το μέτρημα!

Νικητήρια μετάθεση 2η (9η) που διέφυγε 3412.
Εξώφθαλμα το τρίτο βαζάκι (1) >>3,4 άρα το επιλέγουμε!

Νικητήρια μετάθεση 3η (10η) που διέφυγε 2431. Το τρίτο βαζάκι, 3<2, άρα το προσπερνάμε και πάμε για το τέταρτο που είναι το 1, νικητήριο!
Άρα δέκα(10) οι ευνοικές μεταθέσεις και Π=10/24=41.67% (όπως ήδη έχω γράψει)
Συμφωνείτε και σε αυτό κ. Κάρλο και επιμένετε ακόμα? Δικαίωμα σας είναι αλλά..., δεν εξασκείτε σωστά τα δικαιώματα σας.
Περιμένω να μου πείτε τι από τα παραπάνω είναι λάθος (όχι με εντυπώσεις και πονταρίσματα στα τυφλά και όποιον πάρει ο “χάρος” που λέει και η παροιμία) με ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΑ

Για την δική μου στρατηγική “Άσε το πρώτο και διάλεξε από το επόμενα αυτό που θα είναι μεγαλύτερο από το πρώτο” θα γράψω σε επόμενο πιο αναλυτικά πχ.
Στο 2134 διαλέγουμε το τρίτο βαζάκι 3>2 και φυσικά χάνουμε
Όμως στο 3214, απορίπτουμε δεύτερο και τρίτο βαζάκι (2<3, 1<3) και πάμε για το τέταρτο και κερδίζουμε.
Διαβάστε όμως καλα αυτό που προτείνω και σημειωτέον η δική μου κατάταξη ως παραδοχή είναι 4>3>2>1 για να βοηθάει συνειρμικά καθώς για τους αριθμούς ισχύει 4>3>2>1 και να μου πείτε μια μετάταξη από τις 11 που βγαίνουν με την δική μου στρατηγική,
1423, 1432, 2143, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 είναι λάθος, δεν είναι νικητήρια!
Πιστεύω να μην κούρασα τόσο όσο κουράστηκα ο ίδιος για να τα γράψω, χωρίς ιδιαίτερο λόγο, και αν δεν τα κατανοήσετε δεν χάλασε και ο κόσμος!

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

"Τελικά συμφωνίσατε με το κ. Ριζόπουλο στο περίπου 41,7%. Συγχαρητήρια και σε σας για τη λύση που δώσατε."
Τώρα το είδα. Δεν καταλάβατε καθόλου καλά κ. Κάρλο.
Δεν συμφώνησα εγώ με το Γιώργο, αλλά ο Γιώργος μαζί μου, όσον αφορά την δεύτερη καλύτερη στρατηγική που δίνει 10/24 41.666...% (Μένει να βρεθεί και άλλη μία τρίτη, αφού ήταν 7 (7+2=9) για να γίνουν 7+3=10
Και εσείς κ. Κάρλο μια χαρά ποντάρατε!
Η βέλτιστη στρατηγική που δίνει 11/24 είναι ολόσωστη όπως και το "Και όμως γυρίζει(η γή)"

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Προς κάθε ενδιαφερόμενο:
Aν υπάρχουν απορίες για οτιδήποτε,ευχαρίστως να απαντήσω.
http://faculty.mc3.edu/cvaughen/probability/marriage_problem.ppt

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Επειδή προβλέπω σκληρή κόντρα θ΄αφήσω το κ. Ριζόπουλο ν' αποφανθεί για το εάν είναι 10/24 ή 11/24 βαζάκια, λόγω του ότι όπως ανέφερα δεν είναι στα κυβικά μου αυτός ο γρίφος.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Προσωπικά, δεν έχω καμία διάθεση για "κόντρα" με οποιονδήποτε.
Πόσταρα αρχικά τη γενική λύση και στη συνέχεια με το δεύτερο σχόλιό μου την ακριβή αναλυτικά,χωρίς να έχω γνώση,όπως όλοι, των ενδιάμεσων σχολίων. Για τα τυπογραφικά μου λάθη και το βεβιασμένο μέτρημα 8 ευνοϊκών αντί για 10 που πραγματικά είναι,απολογούμαι. Δεν μπορώ να αλλάξω δυστυχώς το παρελθόν.
Από κει και πέρα, δεν υπάρχει καμία αμφιβολία πως η βέλτιστη τακτική (αυτή δηλαδή που μεγιστοποιεί τις πιθανότητες) για 4 επιλογές, είναι "Άφησε 2 να περάσουν και επίλεξε το αμέσως επόμενο (το 3ο ή 4ο) που είναι καλύτερο από τα 2 πρώτα".
Οποιαδήποτε σοβαρή εργασία (όπως αυτή που έδωσα με λινκ) το βεβαιώνει, και είναι ένα μαθηματικό γεγονός γνωστό από καιρό.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Aς ξαναμετρήσω αναλυτικά.
(σύμβαση: 1 το καλύτερο,κ.λ.π.)
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2341 3214 4213
1342 2314 3241 4231
1432 2413 3412 4312
1423 2431 3421 4321
Η πρώτη στήλη έχει το 1 πρώτο πάει όλη στράφι.
2η στήλη:
2341 NAI
2314 NAI
2413 NAI
2431 NAI
3η στήλη:
3214 NAI
3241 NAI
3412 NAI
3421 OXI
4h στήλη:
4213 NAI
4231 NAI
4312 NAI
4321 OXI
ΣΥΝΟΛΟ ΝΑΙ:4+3+3=10

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

κ. Κάρλο πάλι δεν καταλάβατε. Τι είναι αυτά περί κόντρας και για πιο λόγο άλλωστε?
Από τη αρχή σε σάς απευθύνομαι καθώς είστε ο ιδιοκτήτης και σε κανέναν άλλον. Εσείς έχετε την ευθύνη των θεμάτων που φέρνετε. Αν δεν γνωρίζετε την απάντηση ενός θέματος μην "ψηφίζετε" κατά το δοκούν με βάση πρόσωπα. Δεν γνωρίζετε την απάντηση, μην παίρνετε θέση για το σωστό ή το λάθος, αφού δεν γνωρίζετε την απάντηση!
Και αυτό το τελευταίο που γράψατε "θ΄αφήσω το κ. Ριζόπουλο ν' αποφανθεί για το εάν είναι 10/24 ή 11/24" τι είναι?
Δεν αντιλαμβάνεσθε ότι είναι προσβλητικό να αποφασίσει κάποιος τρίτος για την σκέψη μου αν είναι σωστή ή λάθος, πολύ δε περισσότερο που τα θέμα της επιλογής "νύφης ή του υπαλλήλου" μου είναι γνωστό παλαιόθεν, από τα φοιτητικά χρόνια, και σχετικά πρόσφατα πριν από ένα ενάμισυ χρόνο το είχα ξαναμελετήσει, αλλά δεν θυμάμαι σε πιο βιβλίο και τις λεπτομέρειες εξ ού και η σιγουριά μου για την ορθότητα της λύσης.
Αλλά και στο πόστ του Γιώργου που το διάβασα επι τροχάδην, βρήκα και ένα οφθαλμοφανες λάθος στην εφαρμογή τύπου, με δικαιώνει απόλυτα και για το πια είναι η κατάλληλη επιλογή και το όριο και για τον κατάλληλο αριθμό που αφήνουμε να περάσουν.
Διαβάστε το και εσείς, αφού εγώ τα κατάφερα με τα ελάχιστα Αγγλικά μου, πόσο μάλλον εσείς. Εξάλλου οι τύποι και οι αριθμοί είναι διεθνής γλώσσα πέραν κάθε αμφιβολίας.
Η κόντρα, αν την πούμε έτσι, προτιμώ το αντιπαράθεση και αυτό σπάνια το κάνω είναι αποκλειστικά με σας.
Η κόντρα, η αντιπαράθεση θα έλεγα είναι με εσάς και μόνο εσάς, σε όσες λίγες περιπτώσεις έτυχε και αυτό εδώ στο Παπαβέρι 48, εξ αιτίας του θεσμικού σας ρόλου και μόνον. Οι άλλοι σχεδόν ως να μην υπάρχουν (σε θέματα αντιπαράθεσης εννοείται). Δεν θα επανέλθω στο θέμα, με κούρασε αρκετά.
Μόνο κάποια στιγμή, εν ευθέτω χρόνω, θα αναρτήσω τους τύπους γύρω από το θέμα και αυτό ελάχιστη έως καθόλου σημασία έχει για μένα.

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Σε ότι αφορά τη θέση που πήρα στο πρόβλημα ήταν λάθος μου, εφ' όσον δεν το γνώριζα. Προς συμόρφωσή μου για το μέλλον. Όσον αφορά το σχόλιο σχετικά με "...θ΄αφήσω το κ. Ριζόπουλο ν' αποφανθεί για το εάν είναι 10/24 ή 11/24" δεν το έγραψα για να σας θείξω, να σας προσβάλλω ή να σας μειώσω. Απλά το έγραψα για να το αναλύσει γιατί είναι το 10/24 και όχι το 11/24.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΙΛΑΝΕ ΜΟΝΟΙ ΤΟΥΣ ή ΜΗΠΩΣ ΟΧΙ?
“Αφήνουμε το πρώτο βαζάκι και επιλέγουμε το μεγαλύτερο από το 1ο”
Θεωρώ 4>3>2>1 χάριν ευκολίας. Το ίδιο προκύπτει και αν θεωρήσουμς 1>2>3>4 με άλλες μεταθέσεις εννοείται, φαντάζομαι να είναι κατανοητό. Αν όχι ευχαρίστως να το κάνω και με 1>2>3>4
1423 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
1432 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
2143 ΝΑΙ, 1<2, πάμε παράκατω 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
2413 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
2431 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
3124 ΝΑΙ, 1,2<3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
3142 ΝΑΙ, 1<3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
3214 ΝΑΙ, 2,1<3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
3241 ΝΑΙ, 2<3, πάμε παρακάτω μας πέφτει το 4, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
3412 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
3421 ΝΑΙ, μάς πέφτει το 4 άμεσα, ΚΕΡΔΙΖΟΥΜΕ
(με το αφήνουμε το πρώτο κερδίζουμε και στις 6 μεταθέσεις με 1ο βαζάκι το 3, μεγάλο πλεονέκτημα!

Μετράω και ξαναμετράω βγάζω 11>10 ευνοικές περιπτώσεις
ΘΡΙΜΒΟΣ! ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 11/24 >10 >24
Μου διαφεύγει κάτι που δεν το βλέπω?

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Και γιατί, ας πούμε. να μην αναλύσω εγώ γιατί είναι 11/24 η μεγιστοποίηση αντί του 10/24, την στιγμή που από την αρχή μέχρι το τέλος γράφω τα ίδια, χωρίς βελτιώσεις διορθώσεις ή παλινωδίες και μιλάω με απόλυτη σιγουριά και έχω και το πλεονέκτημα της λύσης του δυσκολότατου γρίφου "4 δωμάτια" Πάντσικ
Δεν το προτείνω, εννοείται, γιατί όπως δεν θέλω κάποια "αυθεντία" και κριτή πάνω στην σκέψη μου, κατά μείζονα λόγο δεν θα γίνω εγώ κριτής και "αυθεντία" ΝΑ ΑΠΟΦΑΣΙΣΩ πια λύση είναι σωστή και πια όχι.
Απλά μπαίνω στην λογική σας, κάποιος ΠΡΕΠΕΙ να ΑΠΟΦΑΣΙΣΕΙ. Γιατί αυτή η μονομερής επιλογή σας? Δεν θέλω απάντηση, μιλάει μόνο του το πράγμα και γενικά δίκαιο έχετε ο Γιώργος ξέρει περισσότερα από εμένα, αλλά όχι στο συγκεκριμένο θέμα!

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Υ.Γ
" Όσον αφορά το σχόλιο σχετικά με "...θ΄αφήσω το κ. Ριζόπουλο ν' αποφανθεί για το εάν είναι 10/24 ή 11/24" δεν το έγραψα για να σας θείξω, να σας προσβάλλω ή να σας μειώσω."
Προφανώς κ. Κάρλο δεν το κάνατε δεν είχατε τέτοια πρόθεση και ούτε μου πέρασε έστω και απειροελάχιστη τέτοια σκέψη, εξάλλου την εκτίμηση σας για το πρόσωπο μου και τον χαρακτήρα μου την εκφράσατε κατ' επανάληψη και ίσως υπέρ του δέοντος.
Δεν το κάνατε σαφώς εκ προθέσεως αλλά εξ αντικειμένου και εξ αμελείας το πράξατε, Δεν πειράζει, δεν άλλαξε απολύτως τίποτα στη ζωή μου από αυτό, απλά τυχαίνει να "παίρνω τα πράγματα, δυστυχώς, πολύ στα σοβαρά" και συνήθως δεν αφήνω εύκολα να "πέσει κάτω", και εδώ δυστυχώς, κάτι που με αφορά άμεσα και μόνο άμεσα.

Papaveri είπε...

@Ε. Αλεξίου
Για να κλείσουμε δια παντώς αυτό το δυσάρεστο περιστατικό σας ζητώ συγγνώμη για το ατόπιμα μου.

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Έκλεισε ήδη, μετά την δήλωση σας και από χαρακτήρα δεν θυμάμαι καμία "καλυμμένη έστω και μεταχρονολογημένα επιταγή" (προσφιλής μου έκφραση μεταφορικά για τις σχέσεις των ανθρώπων) παρά μόνο θετικά. Τις "ακάλυπτες" μόνο θυμάμαι, όπως όλοι μας.
Να είστε καλά!

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Συνοψίζοντας και γενικεύοντας το πολύ ενδιαφέρον αυτό θέμα για n αντικείμενα (στην περίπτωση μας n=4).
To πρώτο και βασικό θέμα είναι η εύρεση του αριθμού, έστω m που αφήνουμε αρχικά (στην περίπτωση μας m=1 ή m=2, διιστανται μέχρι στιγμής οι απόψεις).
Ο τύπος που δίνει την βέλτιστη επιλογή του m είναι m=n*(1/e)
Ο τύπος που δίνει την βέλτιστη πιθανότητα P(m) είναι:
P(m)= (m/n)Σ(1/i), ι=m,(m+1),..,(n-1) →
P(m)= (m/n)[1/m +1/(m+1) +1(m+2)+...+1/(n-1)]

Για n=3 και m=1 (τρία βαζάκια και αφήνουμε το ένα το πρώτο) μας δίνει:
P(1)=(1/3)*(1/1 +1/2)=1/2 όπως ακριβώς βγαίνει και με τις μεταθέσεις.

Για n=4, m=2 (βέλτιστη λύση κατά Γ. Ριζόπουλο) μάς δίνει:
P(2)=(2/4)*(1/2+1/3)=10/24, όπως ακριβώς τα υπολογίσαμε με τις μεταθέσεις

Για n=4, m=1 (βέλτιστη λύση κατά Ε. Αλεξίου) μάς δίνει:
P(2)=(1/4)*(1/1+1/2+1/3)=11/24, όπως ακριβώς υποστηρίζω με απόλυτη βεβαιότητα από την αρχή.

Τα συμπεράσματα κ. Κάρλο για την βέλτιστη λύση, δικά σας.

Για n=5, βέλτιστο m=2, όπως ακριβώς έχω ήδη γράψει
P(2)=(2/5)*(1/2+1/3+1/4)=52/120 =0.4333..., είχα βρεί 49/120, πράγματι μετά από έλεγχο των 120 μεταθέσεων πο έχω κάνει στο χαρτί βρήκα και τις υπόλοιπες τρείς που μου διέφυγαν.

Για n πολύ μεγάλο, ας πούμε n=100000 (για να μπορεί η Βολφραμάλφα να κάνει τις πράξεις) κατάλληλο m=100000/e =36787,944117, επιλέγουμε προφανώς m=36788 (μερικές φορές χρειάζεται έλεγχο όταν ας πούμε βγει m=agc..k,515, ποιος από τους 2 πλησιέστερους ακέραιους είναι ο καταλληλότερος) και έχουμε:
P(36788)=(36788/100000)*(1/36788+1/36789+...+1/99999)=
0.36788*1.00000707238937839529...= 0.3678826...>1/e=0.36787944...

Απίστευτο και όμως αληθινό, από 100000 με αυτή την στρατηγική πετυχαίνουμε το καλύτερο με πιθανότητα 36,79%

Αλλά και όπως έχω διαβάσει στο παρελθόν, (τα μαθηματικά πέραν των γυμνασιακών χρόνων δεν με ενδιέφεραν αλλά οι γρίφοι, σπαζοκεφαλιές και τέτοιου είδους προβλήματα, ήταν ένα από τα αγαπημένα μου χόμπυ μέχρι τα 33 μου, ε μετά οικογένεια, η καριέρα που ήταν στο φούλ και η ενασχόληση μου έντονα με την πολιτική, δεν μου άφηναν χρόνο ούτε για ένα 6ωρο ύπνου) οσοδήποτε μεγάλο και να είναι το n, n να τείνει στο άπειρο με το κατάλληλο m=n/e , η πιθανότητα ποτέ δεν θα γίνει μικρότερη του 1/e=0.367879...
Απίστευτο, σχεδόν σχιζοφρενικό..

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Καλημέρα κ. Κάρλο
Γράφω εδώ καθώς το “Τα βάζα με το Γλυκό”, όχι μην φοβάσθε ότι θα συνεχίσω την αντιπαράθεση μαζί σας αν και δεν αποφασίσατε ακόμη πια είναι η βέλτιστη λύση, γιατί εκεί φρακάρισε από σχόλια και θα χαθεί.
Το βιβλίο που διάβασα (πριν ενάμισυ-δύο χρόνια, μάλιστα είναι το από τα πρώτα αυτής της κατηγορίας μετά από δεκαετίες το βρήκα στην βιβλιοθήκη μου), για το πρόβλημα της βέλτιστης επιλογής του καλύτερου μεταξύ 4,..,10,..., n επιλογών είναι:
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΟΖ του KLIFFORD A. PICKOVER
Πρόβλημα 70: Η ΕΠΙΛΟΓΗ, σελίδα 194
Η απάντηση στις σελίδες 397, 398, 399 όπου αναπτύσσει το θέμα αρκετά διεξοδικά και κυρίως κατανοητά. Το βιβλίο αυτό σας το συνιστώ ανεπιφύλακτα, αν δε το έχετε διαβάσει, μιας και ασχολείσθε και μάλιστα σαν θεματοθέτης το τελευταίο διάστημα, με αρκετά δύσκολα θέματα και πολύ καλά κάνετε, στο παρελθόν εξάλλου σας είχα ζητήσει κατ' επανάληψη να ανεβάσετε τον πήχυ δυσκολίας των θεμάτων.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes