Η Παρέλαση

Οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν να παραταχθούν σε σειρές των 3, 4 και 7 μαθητών χωρίς να περισσεύει κανένας. Αν όμως παραταχθούν σε σειρές των 11 χρειάζεται ακόμη ένας μαθητής για να συμπληρωθούν οι σειρές. Πόσοι είναι οι μαθητές του σχολείου;(Κατ.5/Νο.78)

Πηγή:IΔ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013

Λύση

Οι μαθητές του σχολείου ανέρχονται σε 252. 3*4*7*m+1=11*n ,(«m» και «n» θετικοί ακέραιοι)-->84m=11n-1 -->(84m+1)/11=n --> (88m-4m+1)/11=n --> 8m-(4m-1)/11= n Όμως "n" θετικός ακέραιος, οπότε (4m-1)/11 ακέραιος άρα θα πρέπει (4m-1) πολλαπλάσιο του 11 με «m» θετικό ακέραιο. Δοκιμάζουμε το 11: 4m-1=11 --> 4m=11+1 -->4m=12 --> m=12/4 --> m=3 δεκτό, Δοκιμάζουμε το 55: 4m-1=55 --> 4m=55+1 --> 4m=56 --> m=56/4 --> m=14 δεκτό Δοκιμάζουμε το 99: 4m-1=99 --> 4m=99+1 --> 4m=100 -> m=100/4 --> m=25 δεκτό Δοκιμάζουμε το 143: 4m-1=143 --> 4m=143+1 --> 4m=144 --> m=144/4 --> m=36 δεκτό κλπ. Άρα: 84*m=84*3=252 μαθητές. Όταν οι δοκιμές των πολλαπλάσιων του 11 αυξάνονται κατά 44 μονάδες, το «m» αυξάνεται κατά 11 μονάδες.