Κυριακή, 2 Μαρτίου 2014

Ένα «κίτρινο» δημοσίευμα !!


Δυο φίλοι  συζητούν.
Α:«Διάβασα στην εφημερίδα ότι στα υψίπεδα της Λοξολάνδης αρχαιολόγοι ανακάλυψαν σε ένα αρχαίο τάφο ένα πολύ παράξενο κτέρισμα.»
Β:«Τι το παράξενο είχε;»
Α:«Ήταν  ένα πεντάγραμμο αστέρι, όπου σε κάθε  σημείο που τέμνονται δυο πλευρές του,  (στο σχήμα  τα κόκκινα τετράγωνα), ήταν  σκαλισμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10.»
Β:«Ε και; Που είναι το παράξενο;»
Α:«Το παράξενο είναι στο ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε  τεσσάρων αριθμών που βρίσκονται  σε  συνεχόμενα τετράγωνα στην ίδια γραμμή είναι σταθερό.»
Β:«Το δημοσίευμα είναι ψεύτικο!!»
Δεδομένου ότι ο «Β» δεν γνώριζε τίποτα για την αξιοπιστία του δημοσιογράφου ή της εφημερίδας  ή των αρχαιολόγων που ανακάλυψαν το κτέρισμα,  πως κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψεύτικο; (Κατ.27/Νο.375)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/03/blog-post_25.html

 Λύση του Papaveri.
Ο Β κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψευτικό από το γεγονός ότι το ανωτέρω Πεντάγραμμο ονομάζεται ελλιπές, διότι από την σειρά των αριθμών 1-12 λείπουν οι αριθμοί 7 και 11 για να μπορέσουμε να σχηματίσουμε Μαγικό  Άστρο με μικρότερη δυνατή Μαγική Σταθερά το 24 και μικρότερο δυνατό μέγιστο αριθμό το 12. Εαν αριθμήσουμε το Μαγικό Άστρο  από το 1 έως το 10 θεωρητικά θα έπρεπε να  έχουμε Μαγική Σταθερά το 22.
Διαφορετική Προσέγγυση της λύσεως:
Ο Β κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψεύτικο, γιατί είναι αδύνατο να τοποθετηθούν  οι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10 στα τετράγωνα του πενταγράμμου έτσι ώστε κάθε γραμμή να έχει το ίδιο άθροισμα. Πως μπορούμε να το αποδείξουμε;
Έστω ότι υπάρχει η ζητούμενη διάταξη αριθμών στο πεντάγραμμο. Το σχήμα αποτελείται συνολικά από 5 γραμμές .Το άθροισμα των αριθμών 1+2+3+…+10=55, όμως ο καθένας από τους αριθμούς εμφανίζεται σε δυο γραμμές άρα το άθροισμα όλων των γραμμών είναι 55+55=110 , αν διαιρέσουμε με το πλήθος των γραμμών
5( δεδομένου ότι υποθέσαμε ότι όλες οι γραμμές έχουν το ίδιο άθροισμα) βρίσκουμε 22. Το πρόβλημα τώρα είναι να τοποθετήσουμε τους αριθμούς έτσι ώστε σε κάθε γραμμή να έχουμε άθροισμα 22. Το 1 θα βρίσκεται σε δυο γραμμές οπότε οι υπόλοιποι αριθμοί σε καθεμία από τις 2 γραμμές του θα πρέπει να έχουν άθροισμα 2x21=42. Σίγουρα το 10 πρέπει να βρίσκεται σε μια από τις δυο γραμμές που περιέχουν το 1 γιατί το άθροισμα των υπολοίπων (χωρίς το 10) δεν αρκεί.
Δείτε 4+5+6+7+8+9=39 <42 .="" lang="EN-US" span="" style="mso-ansi-language: EN-US;">
Αν ονομάσουμε «Α» τη γραμμή που περιέχει το 1 και το 10 , «Β» την άλλη γραμμή με το 1 και «Γ» την άλλη γραμμή με το 10. Βλέπε σχήμα κατωτέρω.
 
Τότε στην γραμμή «Α»  θα έχουμε 4 δυνατούς συνδυασμούς .Εξαιρούμε τον συνδυασμό 1,10,4,7 γιατί θα ήταν αδύνατο να συμπληρωθούν σωστά με τους υπόλοιπους αριθμούς οι γραμμές «Β»  και «Γ»  . Οπότε εξετάζουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις :
Γραμμή
1ος Συνδυασμός
2ος Συνδυασμός
3ος Συνδυασμός
Α
1, 10, 2, 9
1, 10, 3, 8
1, 10, 5,, 6
Β
1, 6, 7, 8
1, 5, 7, 9
1, 4, 8, 9
Γ
10, 5, 4, 3
10, 6, 4, 2
10, 7, 3, 2
Αλλά θα πρέπει οι γραμμές Β και Γ να έχουν ένα κοινό αριθμό (στο πεντάγραμμο κάθε δυο γραμμές έχουν ένα κοινό τετράγωνο ) και αυτό δεν συμβαίνει σε καμιά περίπτωση. Άρα δεν είναι δυνατή η διάταξη που παρουσιάζει το δημοσίευμα.

Λύση του Ε. Αλεξίου

Ο κάθε αριθμός συμμετέχει σε 2 γραμμές, άρα 2*(1+2+.....+10)=2*55=110, άρα το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι 110/5=22.
Αρχίζουμε να εξετάζουμε τις διάφορες περιπτώσεις θέσεων των αριθμών 1,...,10.
Στη μία από τις 2 γραμμές που βρίσκεται το 1 πρέπει να υπάρχει υποχρεωτικά το 10.
Το άθροισμα 2 γραμμών πρέπει να είναι 2*22=44 και ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει το 10, τότε μέγιστο δυνατό άθροισμα αυτών των γραμμών 2*1+4+5+6+7+8+9=41<42 10="" br=""> Εξετάζουμε τις 3 γραμμές, 2 με το 1, έστω Α και Β , και την άλλη με το 10, έστω Γ.
Αφού κάθε αριθμός υπάρχει σε 2 γραμμές πρέπει, αντίστροφα, οι γραμμές Β και Γ να έχουν ένα κοινό αριθμό και αυτό θα ελέγξουμε αφού κάνουμε τους δυνατούς συνδυασμούς των αριθμών των τριών αυτών γραμμών, έτσι που οι γραμμές ανά δύο να έχουν μόνο ένα κοινό αριθμό.
Α.....1,10,2,9........1,10,3,8........1,10,5,6.......1,10,4,7
Β.....1,06,7,8........1,05,7,9........1,04,8,9.......1,03,8,10 ή 1,3,9,9 ή...
Γ.....3,10,4,5........2,10,4,6........2,10,3,7.......
Παρατηρούμε ότι οι στους τρεις πρώτους συνδυασμούς δεν υπάρχει κοινός αριθμός και ο 4ος συνδυασμός αδύνατον να σχηματισθεί. Ο σχηματισμός που περιγράφει το δημοσίευμα συνεπώς είναι ψεύτικος!

2 σχόλια:

Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Αρκτετα ενδιαφέρον αριθμητικό πρόβλημα κ. Κάρλο και ευκαιρίας δοθείσης επανέρχομαι σε μια παλαιότερη πρόταση μου, που δεν την ερμηνεύσατε σωστά τότε..
Η πρόταση μου ήταν και την ξανακάνω:Nα μην βάζετε ΜΟΝΟ προβλήματα ή ΚΥΡΙΩΣ προβλήματα του ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ αλλά και για μεγαλύτερες ηλικίες, μετρίως δύσκολα, όπως αυτό ή και δύσκολα. Αυτό δεν σημαίνει να μην βάζετε εύκολα, όπως το εκλάβατε τότε, αλλά σημαίνει
να βάζετε ΚΑΙ εύκολα, για μικρότερες ηλικίες, ΚΑΙ λιγότερο εύκολα ή μέτριας δυσκολίας ΚΑΙ δύσκολα έτσι που να καλύπτονται όλες οι ηλικίες ΚΑΙ όλα τα επίπεδα, έτσι που πέραν των άλλων και το μπλόγκ θα αποκτήσει περισσότερους ενεργούς και συμμετέχοντες φίλους,. Φυσικά αν το εγκρίνετε και αν συμφωνείτε. Γιατί καταλαβαίνω ότι έτσι θα χρειασθείτε περισσότερο χρόνο και κόπο.

Ο κάθε αριθμός συμμετέχει σε 2 γραμμές, άρα 2*(1+2+.....+10)=2*55=110, άρα το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής είναι 110/5=22.
Αρχίζουμε να εξετάζουμε τις διάφορες περιπτώσεις θέσεων των αριθμών 1,...,10.
Στη μία από τις 2 γραμμές που βρίσκεται το 1 πρέπει να υπάρχει υποχρεωτικά το 10.
Το άθροισμα 2 γραμμών πρέπει να είναι 2*22=44 και ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει το 10, τότε μέγιστο δυνατό άθροισμα αυτών των γραμμών 2*1+4+5+6+7+8+9=41<42, άτοπο, άρα το 10 υπάρχει υποχρεωτικά σε μία από τις δύο.
Εξετάζουμε τις 3 γραμμές, 2 με το 1, έστω Α και Β , και την άλλη με το 10, έστω Γ.
Αφού κάθε αριθμός υπάρχει σε 2 γραμμές πρέπει, αντίστροφα, οι γραμμές Β και Γ να έχουν ένα κοινό αριθμό και αυτό θα ελέγξουμε αφού κάνουμε τους δυνατούς συνδυασμούς των αριθμών των τριών αυτών γραμμών, έτσι που οι γραμμές ανά δύο να έχουν μόνο ένα κοινό αριθμό.

Α.....1,10,2,9........1,10,3,8........1,10,5,6.......1,10,4,7
Β.....1,06,7,8........1,05,7,9........1,04,8,9.......1,03,8,10 ή 1,3,9,9 ή...
Γ.....3,10,4,5........2,10,4,6........2,10,3,7.......
Παρατηρούμε ότι οι στους τρεις πρώτους συνδυασμούς δεν υπάρχει κοινός αριθμός και ο 4ος
συνδυασμός αδύνατον να σχηματισθεί. Άρα αδύνατον να σχηματισθεί να σχηματισθεί ο σχηματισμός
που περιγράφει το δημοσίευμα και συνεπώς ψεύτικο!

Papaveri είπε...

@ Ε.ΑΛΕΞΙΟΥ
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή. Επειδή επανέρχεστε στο ίδιο θέμα σχετικά με τη δυσκολία των γρίφων σας τονίζω και πάλι ότι βάζω γρίφους για όλες τις ηλικίες, από το Δημοτικό μέχρι και Λύκειο, εφόσον δεν μπορώ να γνωρίζω την ηλικία εκάστου συμμετέχοντος, λόγω μη άμεσης οπτικής επαφής. Ανάλογα με την δυναμικότητα του καθ' ενός μπορεί να λύσει η όχι το γρίφο. Δεν είναι, νομίζω, υποτιμητικό να λύνει κάποιος και του Δημοτικού.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes