Τρίτη, 27 Νοεμβρίου 2012

Ο Αριθμός

 Είμαι ένας τριψήφιος αριθμός. Αν με πολλαπλασιάσεις με το 2, αφαιρέσεις από το γινόμενο το 1 και με διαβάσεις ανάποδα τότε με βρήκες. Ποιος είμαι? (Κατ.1/Νο.133) 

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Μια εναλλακτική λύση είναι η εξής: Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 397. Εάν ο ζητούμενος αριθμός είναι έστω xyz, ισχύει: 2(100x+10y+z)-1=100z+10y+x κι αυτή γίνεται: 199x+10y-98z-1=0 (1) Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές μεγαλύτερες του 4 επίσης αποκλείονται γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ήταν μεγαλύτερο του 999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός. Για x=1 η (1) γίνεται: 10y-98z+198=0 Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει "0" μικρότερο "y" και "y" μιρότερο 10,άρα η x=1 δεν κάνει. Για x=2 η (1) γίνεται: 10y-98z+397=0 Δεν υπάρχουν γι’ αυτή ακέραιες λύσεις. Για x=3 η (1) γίνεται: 10y-98z+596=0 Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος. Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών των y και z, y=9 και z=7 Για x=4 η (1) γίνεται: 10y-98z+795=0 Δεν υπάρχουν γι' αυτή ακέραιες λύσεις. Άρα μοναδική λύση η Χ=3, Υ=9 ,Ζ=7

4 σχόλια:

batman1986 είπε...

Σύμφωνα με την εκφώνηση

(100*Α+10*Β+Γ)*2-1=100*Γ+10*Β+Α

Πρέπει mod(2*Γ)-1=Α(1)

mod2Β+1=Β(2)

2Α+1=Γ(3)

Από αυτές τις εξισώσεις πρέπει να βγάλουμε συμπέρασμα


Θα κάνουμε υποθέσεις για Γ=0,1,2...,8,9

Η μόνη τιμή που ικανοποιεί και τις 3 είναι η Γ=7

Άρα Α=3

η μόνη τιμή για την οποία ικανοποιείται η (2) είναι Β=9

Άρα ο αριθμός είναι ΑΒΓ=397

επαλήθευση 2*397-1=794-1=793


Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Μια εναλλακτική λύση είναι η εξής:
Aν ο ζητούμενος αριθμός είναι έστω xyz, ισχύει
2(100x+10y+z)-1=100z+10y+x κι αυτή γίνεται:
199x+10y-98z-1=0 (1)
Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές >4 επίσης αποκλείονται γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ηταν >999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός.
Για x=1 η (1) γίνεται:
10y-98z+198=0
Aυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει 0<y<10, άρα η x=1 δεν κάνει.
Για x=2 η (1) γίνεται:
10y-98z+397=0
Δεν υπάρχουν γι’αυτή ακέραιες λύσεις.

Για x=3 η (1) γίνεται:
10y-98z+596=0
Aυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος.
Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών των y και z, y=9 και z=7

Για x=4 η (1) γίνεται: 10y-98z+795=0
Δεν υπάρχουν γι'αυτή ακέραιες λύσεις.
Άρα μοναδική λύση η Χ=3, Υ=9 ,Ζ=7

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Γιώργο, σ'ευχαριστώ. Η λύση που δίνεις είναι πολύ κατανοητή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes