Δευτέρα, 26 Νοεμβρίου 2012

Ο Αριθμός

Ποιος είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος αριθμός, που διαιρούμενος...:
Με το 10 αφήνει υπόλοιπο 9;
Με το 9 αφήνει υπόλοιπο 8;
Με το 8 αφήνει υπόλοιπο 7;
Με το 7 αφήνει υπόλοιπο 6;
Με το 6 αφήνει υπόλοιπο 5;
Με το 5 αφήνει υπόλοιπο 4;
Με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3;
Με το 3 αφήνει υπόλοιπο 2;
Με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1;
Με το 1 αφήνει υπόλοιπο 0; 
(Κατ.5/Νο.8)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/blog-post_8876.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Γενικά, αν ένας ακέραιος ,έστω Z, αφήνει υπόλοιπο Κ-1 όταν διαιρείται με έναν αριθμό Κ, τότε ο Ζ+1 διαιρείται ακριβώς με τον Κ. Π.χ. ο 71 /8 αφήνει υπόλοιπο 7. (8*8 + 7=71). Έτσι ο 72 διαιρείται ακριβώς με το 8. (8*9=72) Άρα στην περίπτωσή μας ο αριθμός Ζ+1 διαιρείται ακεραίως με τους 1, 2, 3,…9, 10. Μια προφανής λύση άρα, είναι και το 10! (αλλά too big to be true!):-) Προφανώς(εξ ορισμού του), ο ελάχιστος αριθμός που ψάχνουμε είναι το Ε.Κ.Π (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) των 1,2,3…,9, 10 που είναι ο αριθμός 2520 (=2*4*5*7*9). Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι : Ζ=2519 Επαλήθευση: 2519/2 = 1259*2 + 1 2519/3= 839*3 +2 …………………………… 2519/9= 279*9 + 8 2519/10= 251*10 + 9 Λύση του Papaveri. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 1,2,3,4,5,6,7,8,9 και 10 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι: Ε.Κ.Π.=1*2^3*3^2*5*7=2.520. Επειδή Ν= (πολλαπλάσιο του 10,9,8,…,2)-1, θα έχουμε Ν=2.520-1= 2.519 --> Ν = 2.519

5 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Kαλησπέρα!
Γενικά, αν ένας ακέραιος ,έστω Z, αφήνει υπόλοιπο Κ-1 όταν διαιρείται με έναν αριθμό Κ, τότε ο Ζ+1 διαιρείται ακριβώς με τον Κ.
Π.χ. ο 71 /8 αφήνει υπόλοιπο 7. (8*8 + 7=71). Έτσι ο 72 διαιρείται ακριβώς με το 8. (8*9=72)
Άρα στην περίπτωσή μας ο αριθμός Ζ+1 διαιρείται ακεραίως με τους 1, 2, 3,…9, 10.
Μια προφανής λύση άρα, είναι και το 10! (αλλά too big to be true!):-)

Προφανώς(εξ ορισμού του), ο ελάχιστος αριθμός που ψάχνουμε είναι το Ε.Κ.Π (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο) των 1,2,3…,9, 10 που είναι ο αριθμός 2520 (=2*4*5*7*9). Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι : Ζ=2519
Επαλήθευση: 2519/2 = 1259*2 + 1
2519/3= 839*3 +2
……………………………
2519/9= 279*9 + 8
2519/10= 251*10 + 9

YΓ. Ωραίο πρόβλημα! Θα μπορούσε να λυθεί και με την προσφιλή μου modular arithmetic (όπως ας πούμε στο πρόβλημα του Κινέζου μάγειρα) αλλά ..μιαν άλλη φορά.:-)

batman1986 είπε...

Όντως ωραίος .Έναν παρόμοιο είχα ξαναδεί σε αυτό το μπλογκ

http://www.blogger.com/comment.g?blogID=4661842447490996112&postID=2294126173196706340

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι πολύ σωστή.:-)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Aγαπητέ Papaveri, καλημέρα!

Διόρθωσε, αν θέλεις, στη λύση σου εκεί που παραθέτεις το Ε.Κ.Π με βάση το prime factorization, τις τιμές 23 και 32 με τις ορθές 2^3 (8) και 3^2 (9).
Προφανές τυπογραφικό λάθος είναι βέβαια,και απλώς το επισημαίνω. Ευχαριστώ!

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Αγαπητέ Γιώργο, καλημέρα!
Έχεις απόλυτο δίκιο. Κατά τη μεταφορά ξέχασα να τα υψώσω στη δύναμη.
Σ' ευχαριστώ για τον εντοπισμό.:-)

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes