Αγώνες Ξιφασκίας

Από αριστερά προς τα δεξιά:

Athos, Porthos, Aramis, d’Artagnan

Σχέδιο του Μορίς Λελουάρ, 1894

Ο Άθως, ο Πόρθος, ο Άραμις και ο ντ' Αρτανιάν κατέλαβαν τις τέσσερις πρώτες θέσεις στους βασιλικούς αγώνες ξιφασκίας.
Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Άθως, ο Πόρθος και ο ντ' Αρτανιάν ήταν 6.
Το άθροισμα των θέσεων που κατέλαβαν ο Πόρθος και ο Άραμις ήταν επίσης 6.
Ποιες ήταν οι θέσεις κάθε σωματοφύλακα, αν γνωρίζουμε ότι ο Πόρθος είχε καλύτερη θέση από τον Άθω; (Κατ.34)

Πηγή:Περιοδικό Quantum (Τόμος 8/Tεύχος 2 Μάρτιος/Απρίλιος,2001)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2016/10/blog-post_87.html

Λύση

Η μόνη τριάδα που το άθροισμα της ισούται με 6 είναι η 1, 2, 3. Άρα ο τέταρτος ήταν ο Άραμις. Οι δύο θέσεις που μας δίνουν άθροισμα έξι είναι αναγκαστικά οι θέσεις 2, και 4. Άρα αφού ο Άραμις είναι τέταρτος τότε ο Πόρθος είναι ο δεύτερος. Ο Άθως είναι μετά τον Πόρθο, άρα θα είναι τρίτος και έτσι πρώτος θα είναι ο ντ' Αρντανιάν.
Κατάταξη:
(1) ντ' Αρντανιάν
(2) Πόρθος
(3)Άθως
(4) Άραμις
ντ' Αρτανιάν(1)+Πόρθος(2)+Άθως(3)=6
Πόρθος(2)+Άραμις(4)=6
Ή
Από την πρώτη συνθήκη έπεται ότι ο Άραμης κατέλαβε την τέταρτη θέση.
Από την δεύτερη συνθήκη έπεται ότι ο Πόρθος ήταν δεύτερος.
Από την τρίτη συνθήκη έπεται ότι ντ’ Αρτανιάν ήταν πρώτος και ο Άθως ήταν τρίτος.

Οι Τέλειοι Αριθμοί

Να αποδείξετε ότι οι τέλειοι αριθμοί, εάν είναι άρτιοι, τότε το τελευταίο ψηφίο τους λήγει σε 6 ή σε 8.(Κατ.34)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2016/10/blog-post_80.html#more

Λύση

Οι τέλειοι αριθμοί εφόσον είναι άρτιοι,είναι της μορφής
2^(ν−1)*[(2^ν )− 1]
με το «ν» να είναι πρώτος αριθμός. Ας δούμε τις δυνάμεις του 2:
2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32
2^6=64
2^7=128
...
...
Όταν ο έκθετης είναι άρτιος το τελευταίο ψηφίο είναι 4 ή 6. Ενώ όταν ο έκθετης είναι περιττός το τελευταίο ψηφίο είναι 2 ή 8. Ο «ν» είναι πρώτος άρα περιττός συνεπώς το 2^ν τελειώνει σε 2 η 8, το [(2^ν) -1] τελειώνει σε 1 ή 7 και το 2^(ν-1) τελειώνει σε 6 ή 4 αντίστοιχα.
Π.χ. (2^5=32, 2^(5-1)=2^4=16 και 2^3=8, 2^(3-1)=2^2=4)
Έτσι, το γινόμενο 2^(ν−1)*[(2^ν) − 1] θα έχει ψηφίο μονάδων το 6, αφού 1*6=6 ή θα έχει ψηφίο μονάδων το 8, αφού 4*7=28.

Επείγουσα Ανακοίνωση

Αγαπητοί φίλοι,
Πρόκειται να υποβληθώ σ’ εγχείρηση και θα χρειαστώ τρεις φιάλες αίμα Όποιος μπορεί να πάει σε οποιδήποτε νοσοκομείο μέχρι την 8η Νοεμβρίου 2016, και να δηλώσει ότι πρόκειται για το “Λαϊκό Νοσοκομείο” για το “Ορθοπεδικό Τμήμα” υπέρ CARLO de GRANDI/Κάρλο ντε Γκράντι.
Η ομάδα αίματός μου είναι: ” 0 IV RH (-)”
Επίσης να μ’ ενημερώσεται ανώνυμα στα σχόλια σε ποιο νοσοκομείο πήγε ο καθένας.
Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων.
Φιλικά,
Carlo de Grandi

Οι Τρόποι ΙΙ

Τρεις οικογένειες θέλουν ν'  αγοράσουν από ένα σπίτι η κάθε μία  Μπορούν να  επιλέξουν ανάμεσα σε 4 σπίτια, που βρίσκονται συνεχόμενα το ένα πλάι στο  άλλο σ' ένα δρόμο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι τρεις οικογένειες να αγοράσουν τα σπίτια τους; (Κατ.34)

Πηγή:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Α΄ & Β΄ Γυμνασίου

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/2015-2016/Olympiada-2016/Olympiada-2016-A-B-Gymnasiou.pdf

Λύση

Με 24 διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι 3 οικογένειες να αγοράσουν τα σπίτια τους.
Βάσει του τύπου των μεταθέσεων: Μο=1*2*3*...*μ=μ! έχουμε:
Μο=1*2*3*...*μ ---> Μο=1*2*3*4(σπίτια)=6*4=24 τρόπους.

Οι Μαθητές

Οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν να παραταχθούν σε σειρές των 3, 4, και 7 μαθητών, χωρίς να περισσεύει κανένας. Αν όμως παραταχθούν σε σειρές των 11μαθητών, χρειάζεται ακόμη ένας μαθητής για να συμπληρωθούν οι σειρές. Πόσοι  είναι οι μαθητές του σχολείου; (Κατ.5)

Πηγή:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Ε΄ & ΣΤ΄ Δημοτικού

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/2015-2016/Olympiada-2016/Olympiada-2016-E-St-Demotikou.pdf

Λύση

Λύση του Γεώργιου Βούλγαρη Μαθηματικού.
Ο αριθμός των μαθητών είναι ένα πολλαπλάσιο των αριθμών 3, 4, και 7 που αν αυξηθεί κατά μια μονάδα γίνεται πολλαπλάσιο του 11.Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3, 4, και 7 είναι: 84,168,252,... Από αυτά, το 252 αν αυξηθεί κατά μια μονάδα θα γίνει 253 τ’ οποίο είναι πολλαπλάσιο του 11.Άρα οι μαθητές είναι 252.
Λύση του Ευθύμη Αλεξίου.
Είναι 3*4*7=84 και αν X ο αριθμός των μαθητών τότε είναι X=84k και αν προσθέσουμε έναν μαθητή τότε 11/(84k+1)
Είναι όμως 84 ≡ 7mod11 ---> 7k+1=πολλ.11
Με μικρότερο k=3: 7k+1=πολλ.11 ---> 3*7+1=22 ---> 22/11=2
αλλά και κάθε k=3+11n
οπότε για k=3 είναι Χ=84*3=252 και το αμέσως μεγαλύτερο πλήθος μαθητών είναι X=84*(3+11*1)=1176 όμως τέτοιο πλήθος μαθητών σε Ελληνικό Σχολείο, θεωρώντας ότι το πρόβλημα αναφέρεται σε Ελληνικό Σχολείο, πόσο μάλλον για μεγαλύτερα πλήθη, δεν υπάρχει. Θεωρούμε σαν μόνη δεκτή και ρεαλιστική λύση το X=252.
Λύση του Συντάκτη.
Οι μαθητές του σχολείου είναι 252. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 4, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.(3,4,7)=22*3*7=84
Άρα οι μαθητές είναι 84*3=252
3 σειρές επί 28 μαθητές = 84 μαθητές.
4 σειρές επί 21 μαθητές = 84 μαθητές.
7 σειρές επί 12 μαθητές = 84 μαθητές
Σύνολο: 84*3=252 μαθητές.
Συνεπώς ο (Ν-1) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 84: (Ν-1)=84, (Ν-1)=168, (Ν-1)=252.
Και Ν = (Πολλαπλάσιο +1), δηλαδή Ν=84+1=85, Ν=168+1=169, Ν=252+1=253.
11 σειρές επί 23 μαθητές = 253 μαθητές

Οι Τρόποι

Σ’ ένα νησί του Αιγαίου υπάρχουν δύο ξενοδοχεία. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλέξουν ξενοδοχείο τρεις Γερμανοί τουρίστες, που μόλις έφτασαν για διακοπές στο όμορφο αυτό νησί;

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη.
Με 8 τρόπους. Έστω 1, 2, και 3 οι τουρίστες και Α, και Β τα ξενοδοχεία, οπότε έχουμε:
1,και 2 στο Α ο 3 στο Β
1,και 2 στο Β ο 3 στο Α
1,και 3 στο Α ο 2 στο Β
1,και 3 στο Β ο 2 στο Α
2,και 3 στο Α ο 1 στο Β
2,και 3 στο Β ο 1 στο Α
1,2,3 στο Α
1,2,3 στο Β

Η Ισορροπία

Στην ανωτέρω εικόνα, οι δύο ζυγαριές (Σχ.1 και Σχ.2) ισορροπούν. Πόσους κύκλους πρέπει να βάλουμε στο αριστερό τάσι της ζυγαριάς  (Σχ.3), για να ισορροπήσουν τα έξι τετράγωνα; (Κατ.9Β΄)

Πηγη:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Ε΄ & ΣΤ΄ Δημοτικού

Πηγή:http://www.cms.org.cy/assets/files/2015-2016/Olympiada-2016/Olympiada-2016-E-St-Demotikou.pdf

Διαβάστε περισσότερα »