Το Άλογο που Χάθηκε

Μία μέρα ένα από τα μικρότερα άλογα, ενός Σεϊχη,  χάθηκε στην έρημο για πέντε μέρες. Περπάτησε μία απόσταση την πρώτη μέρα, και σε κάθε μία από τις υπόλοιπες περπάτησε ένα χιλιόμετρο περισσότερο από όσο είχε περπατήσει την προηγούμενη μέρα. Στο τέλος των πέντε ημερών, κατάφερε να επέστρεψε στο στάβλο εξαντλημένο, γιατί είχε περπατήσει συνολικά πενήντα πέντε χιλιόμετρα. Πόσα χιλιόμετρα περπάτησε την τελευταία μέρα; (Κατ.34/Νο.678)

Πηγή:http://mathefarm

Λύση

Τη τελευταία ημέρα περπάτησε 13χιλιόμετρα. Έστω «α» τα χιλιόμετρα που έκανε τη πρώτη ημέρα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: α΄Τρόπος Λύσης: α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)=55 --> α+α+1+α+2+α+3+α+4=55 --> 5α+10=55 --> 5α=55-10 --> 5α=45 --> α=45/5 --> α=9 Επαλήθευση: α+(α+1)+ (α+2)+ (α+3)+ (α+4)=55 9+(9+1)+(9+2)+ (9+3)+ (9+4)=55 Άρα η σειρά είναι: 9+10+11+12+13=55 ο.ε.δ. β΄Τρόπος Λύσης: Βάσει του τύπου του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου Σο=[(α+τ)*ν]/2 έχουμε: Σο=Συνολικό άθροισμα της αριθμητικής προόδου. α=Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου. τ=Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου. ν=Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου. Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> 55=[(α+τ)*5]/2 --> (α+τ)= (55*2)/5 --> (α+τ)=110/5 --> (α+τ)=22 --> α=(22-τ) (1) και τ=(22-α) (2) Από το τύπο τ =α+(ν-1)*ω της αριθμητικής προόδου βρίσκουμε το πρώτο και το τε- λευταίο όρο της αριθμητικής σειράς. τ=Ο τελευταίος όρος της αριθμητικής προόδου. α=Ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου. ν=Το πλήθος των όρων της αριθμητικής προόδου. ω=Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει τον επόμενο. Αντικαθιστούμε τη (2) στον ανωτέρω τύπο όπου βρίσκουμε το πρώτο όρο της αριθμητικής σειράς: τ=α+(ν-1)*ω --> 22-α=α+(5-1)*1 --> 22-α=α+4 --> 22-4=α+α -->2α=18 --> α=18/2 --> α=9 τ=α+(ν-1)*ω --> τ=22-τ+(5-1)*1 --> τ=22-τ+4 --> τ+τ=22+4 --> 2τ=26 --> τ=26/2 --> τ=13 Άρα σε 5 ημέρες διήνησε τα εξής χιλιόμετρα: 9+10+11+12+13=55 ο.ε.δ. γ΄Τρόπος Λύσης: Διαιρούμε το συνολικό άθροισμα με το πλήθος των όρων της σειράς και το πηλίκο μας δίνει το μεσαίο αριθμό της σειράς, δηλαδή 55:5=11. Για να συμπληρώσουμε τη σειρά επιλέγουμε 2 αριθμούς προς τ’ αριστερά κατά τη φθίνουσα σειρά και 3 αριθμούς προς τα δεξιά κατά την αύξουσα σειρά κι έχουμε: ν-2, ν-1, ν, ν+1, ν+2=55 9+10+11+12+13=55 ο.ε.δ.

Το Άθροισμα

Από το ανωτέρω σχήμα επιλέξτε 6 αριθμούς, όποιους θέλετε, έτσι ώστε το 
άθροισμα τους να ισούται με 21. (Κατ.27/Νο.376) 

(Ένα πρόβλημα του Martin Gardner)

Διαβάστε περισσότερα »

Τα Κεριά

Δύο νεωκόροι συζητούν: 
Α:-«Θυμάμαι ότι άναψα δύο κεριά!!» 
Β:-«Είχαν το ίδιο μήκος;» 
Α:-«Όχι .Για την ακρίβεια το ένα κερί ήταν ένα εκατοστό μεγαλύτερο από 
το άλλο. Θυμάμαι ότι το μεγαλύτερο κερί σε μήκος το άναψα στις 16:30 
ενώ το πιο μικρό κερί σε μήκος το άναψα στις 18:00. Το παράξενο είναι 
ότι στις 20:30 τα δυο κεριά είχαν ακριβώς το ίδιο μήκος.» 
Β:-«Εντάξει .Αλλά και πάλι δεν μπορώ να βρω το μήκος του κάθε κεριού!!!» 
Α: -«Θυμάμαι ότι το μεγαλύτερο σε μήκος από τα δυο κεριά κάηκε εντελώς 
στις 22:30 ενώ το πιο μικρό σε μήκος κάηκε εντελώς στις  22:00!!!» 
Β: -«Τώρα μάλιστα, μπορώ να υπολογίσω το μήκος του κάθε κεριού!!!!»
Εσείς μπορείτε; (Κατ.13/Νο.36)

Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr/2011/10/blog-post_19.html

Λύση

Ας συμβολίσουμε με "x" το μήκος του μεγαλυτέρου κεριού, και να θεωρήσουμε ότι καίγεται με ρυθμό "M" εκατοστά την ώρα. Τότε το κοντύτερο κερί έχει μήκος (x-1) εκατοστά. Ας συμβολίσουμε με "m" τον δικό του ρυθμό καύσης ανά ώρα. Από τα δεδομένα έχουμε ότι στις 20:30 , το μακρύτερο κερί έκαιγε για 4 ώρες και το πιο κοντό για 2 ½ ώρες ,και έχουν το ίδιο μήκος .Προκύπτει έτσι η σχέση: (x-4*M)=(x-1)-(5*m/2) --> -4*M=(x-1)-(5*m/2)-x --> -2*4*M=2*(x-1)-5*m-2*x --> -8*M=2*x-2-5*m-2*x --> -8*M= -2-5*m --> 8*M-5*m=2 (1) Επίσης γνωρίζουμε ότι το μακρύτερο κερί κάηκε πλήρως σε 6 ώρες και το πιο κοντό σε 4 ώρες , έτσι έχουμε: 6*M=x (2) 4*m=(x-1) (3) Αντικαθιστούμε τη (2) στη (3) κι’ έχουμε: 4*m=(χ-1) --> 4*m=(6*M-1) --> m=(6*M-1)/4 (4) Αντικαθιστούμε τη (4) στην (1) κι’ έχουμε: 8*M-5*m=2 --> 8*M-5*(6*M-1)/4=2 --> 4*8*M-5*(6*M-1)=4*2 --> 32*M-30*M+5=8 --> 2*M=8-5 --> 2*M=3 --> M=3/2 --> M=1,50 εκ. (5) Αντικαθιστούμε τη (5) στις (2) και (3) κι’ έχουμε: 6*M=x --> x=6*1,50 --> x=9εκ. (6) 4*m=x-1 --> 4*m=9-1 --> 4*m=8 --> m=8/4 --> m=2εκ.

Rebus No.166 (9)

Λύση

Σαρακοστή* [*Το έθιμο τής κυρά-Σαρακοστής είναι από τα παλιότερα έθιμα που σχετίζονται με τη γιορτή του Πάσχα, σήμερα όμως λίγο πολύ ξεχασμένο. Χρησίμευε ως ημερολόγιο για να μετράμε τις εβδομάδες από την Καθαρά Δευτέρα μέχρι τη Μεγάλη Εβδομάδα, καθώς η κυρά-Σαρακοστή έχει 7 πόδια, ένα για κάθε εβδομάδα της περιόδου της Σαρακοστής.]

Ένα «κίτρινο» δημοσίευμα !!

Δυο φίλοι  συζητούν.

Α:«Διάβασα στην εφημερίδα ότι στα υψίπεδα της Λοξολάνδης αρχαιολόγοι ανακάλυψαν σε ένα αρχαίο τάφο ένα πολύ παράξενο κτέρισμα.»

Β:«Τι το παράξενο είχε;»

Α:«Ήταν  ένα πεντάγραμμο αστέρι, όπου σε κάθε  σημείο που τέμνονται δυο πλευρές του,  (στο σχήμα  τα κόκκινα τετράγωνα), ήταν  σκαλισμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 μέχρι το 10.»

Β:«Ε και; Που είναι το παράξενο;»

Α:«Το παράξενο είναι στο ότι το άθροισμα οποιωνδήποτε  τεσσάρων αριθμών που βρίσκονται  σε  συνεχόμενα τετράγωνα στην ίδια γραμμή είναι σταθερό.»

Β:«Το δημοσίευμα είναι ψεύτικο!!»

Δεδομένου ότι ο «Β» δεν γνώριζε τίποτα για την αξιοπιστία του δημοσιογράφου ή της εφημερίδας  ή των αρχαιολόγων που ανακάλυψαν το κτέρισμα,  πως κατάλαβε ότι το δημοσίευμα είναι ψεύτικο; (Κατ.27/Νο.375)
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/03/blog-post_25.html

Διαβάστε περισσότερα »

Rebus No.165 (8)

Λύση

Παρέλαση [Πα(Νότα Βυζαντινής Μουσικής)ρε(Νότα Ευρωπαϊκής Μουσικής)λα(Νότα Ευρωπαϊκής Μουσικής)σι(Νότα Ευρωπαϊκής Μουσικής)][ Παρε(Seker-Pare, Ανατολίτικο Γλυκό)λαση*] *Το θρυλικό κόλλεϋ της ομώνυμης σειράς στη Τηλεόραση «Lassie», (1954-1973).

Η Παρέλαση

Οι μαθητές ενός σχολείου  συμμετείχαν σε μια μεγάλη μαθητική παρέλαση .Στην αρχή τα παιδιά παρήλαυναν σε σχηματισμό τετραγώνου ,ενώ στην συνέχεια άλλαξαν το σχηματισμό τους  σε ορθογώνιο με αποτέλεσμα  ο αριθμός των γραμμών τους να αυξηθεί κατά  5 .Πόσοι μαθητές έλαβαν μέρος στην παρέλαση; (Κατ.34/Νο.677)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/02/blog-post_3229.html

Λύση

Λύση του Ε. Αλεξίου. Σχηματισμός τετραγώνου, Χ μαθητές ανά γραμμή και στήλη, άρα πλήθος μαθητών Χ^2. Προστίθενται 5 γραμμές και έστω ότι αφαιρέθηκαν «α» στήλες μαθητών, «α» ακέραιος: Χ^2 = (Χ+5)*(Χ-α) --> Χ^2= Χ^2 +5Χ -αΧ -5α --> Χ*(5-α) =5α --> Χ=5α/(5-α), μηδεν μικρότερο "α" μικρότερο "5", για να έχουμε λύση. Για έλεγχο α = 1,2,3,4. Τα α = 1,2,3 απορρίπτονται διότι προκύπτει Χ κλασματικός αριθμός . Για α = 4, Χ=5*4/(5-4) --> Χ=5*4/1 --> Χ=20. Σύνολο μαθητών σε τετράγωνο: Χ^2=20^2=400. Σύνολο μαθητών σε ορθογώνιο: Χ^2=(20+5)*(20-4)=25*16=400. Λύση του Papaveri. Έλαβαν μέρος 400 μαθητές. Ας υποθέσουμε ότι αρχικά οι μαθητές σχημάτισαν ένα τετράγωνο (νxν) και επομένως το πλήθος των μαθητών είναι ν2 .Από την διατύπωση του προβλήματος αντιλαμβανόμαστε ότι το ν2 πρέπει να διαιρείται με (ν+5), επειδη είναι δυνατό να σχηματίσουν (ν+5) γραμμές. Εφόσον ν2=[(ν+5)(ν-5)+25]=ν2-5ν+5ν-25+25, έπεται ότι το 25 διαιρείται με το (ν+5). Ο μοναδικός διαιρέτης του 25 που είναι μεγαλύτερος του 5 είναι το ίδιο το 25 και επομένως έχουμε: (ν+5)=25 --> ν=25-5 --> ν=20 Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ν» στο ν2 κι’ έχουμε: ν2= 202=400.